3.
設\(f(n)\)表示最接近\(\root 6\of n\)的整數，求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2026}\frac{1}{f(k)}=\)
設 \(a_k\) 表示為最接近 \(\sqrt{k}\) 的整數, ex: \(a_1=1,\,a_2=1,\,a_3=2\).試求 \(\displaystyle\sum^{2016}_{k=1}\frac{1}{a_k}\)
(105高雄女中代理，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2555&page=1#pid15958)
5.
將10個半徑為3的球堆成一個三角垛(下為上視圖)，則最上面那顆球的最高點離地面的高度為
。
將十個半徑為1的球堆成一個三角垛，則最上面那顆球的最高點離地面的高度為
(112基隆女中，
https://math.pro/db/thread-3748-1-1.html)
6.
某液晶面板由紅、綠、藍三種顏色的LED燈泡組成。已知各色燈泡亮燈的循環規律如下：
紅色：「亮3秒，再暗1秒，再亮2秒」
綠色：「亮6秒，再暗2秒」
藍色：「亮\(k\)秒，再暗\((18-k)\)秒」，其中\(k\)為正整數。
若在某時刻三種顏色的燈泡同時各自開始作上述循環，面板上都一直有燈亮著，並設各燈泡亮、暗切換的時間極短可被忽略，則\(k\)的最小值為
某液晶面板由紅、綠、藍三種顏色的LED燈泡組成。已知各色燈泡亮燈的循環規律如下：
紅色：「亮3秒，再暗1秒，再亮2秒」
綠色：「亮6秒，再暗2秒」
藍色：「亮\(k\)秒，再暗\((15-k)\)秒」，其中\(k\)為正整數。
若在某時刻三種顏色的燈泡同時各自開始作上述循環，面板上都一直有燈亮著，並設各燈泡亮、暗切換的時間極短可被忽略，則\(k\)的最小值為
(114學測數學B，連結有解答
https://public.ehanlin.com.tw/pr ... %80%83%E7%A7%91.pdf)
8.
坐標空間中，考慮邊長為2的正立方體，固定一頂點\(O\)。從\(O\)以外的七個頂點隨機選取相異兩點，設此兩點為\(P\)、\(Q\)，試問所得內積\(\vec{OP}\cdot \vec{OQ}\)之期望值=
。
坐標空間中，考慮邊長為1的正立方體，固定一頂點\(O\)。從\(O\)以外的七個頂點隨機選取相異兩點，設此兩點為\(P\)、\(Q\)，試問所得內積\(\vec{OP}\cdot \vec{OQ}\)之期望值為下列哪一個選項？
(1)\(\displaystyle \frac{4}{7}\) (2)\(\displaystyle \frac{5}{7}\) (3)\(\displaystyle \frac{6}{7}\) (4)1 (5)\(\displaystyle \frac{8}{7}\)
(112學測，連結有解答
https://public.ehanlin.com.tw/pr ... %80%83%E7%A7%91.pdf)
10.
方程式\(\sqrt{1-x^2}=4x^3-3x\)的所有實根的乘積為
12.
在座標平面上，求滿足\(|\;13x-10y+6|\;+|\;17x+13y-2|\;\le 339\)的區域面積為
。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2264&page=3#pid13904
13.
\(f(x)\)為一個五次實係數多項式，如果\(f(x)+1\)能被\((x-1)^3\)整除，且\(f(x)-1\)能被\((x+1)^3\)整除，則滿足上述條件之\(f(x)=\)
(106高中數學能力競賽，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3579&page=1#pid23437)
14.
長方體\(ABCDEFGH\)中，對角線\(\overline{CE}\)至不相鄰三邊的距離分別為\(2\sqrt{5}\)、\(\displaystyle \frac{30}{\sqrt{13}}\)、\(\displaystyle \frac{15}{\sqrt{10}}\)，則此長方體體積為
。
(103高中數學能力競賽，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2125&page=1#pid12506)
(108新北市高中聯招，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3133&page=2#pid19907)
15.
一個凸四邊形\(ABCD\)如圖所示，其中\(\angle ABC=135^{\circ}\)，\(\angle BCD=120^{\circ}\)，\(\overline{AB}=\sqrt{6}\)，\(\overline{BC}=6-\sqrt{3}\)，\(\overline{CD}=6\)，求\(\overline{AD}=\)
。
(109高中數學能力競賽 中投區筆試二試題，連結有解答
https://math.pro/db/attachment.p ... 22&t=1742574485)
https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html
二、計算證明題
2.
試證：\(\displaystyle \frac{1}{cos0^{\circ}cos1^{\circ}}+\frac{1}{cos1^{\circ}cos2^{\circ}}+\frac{1}{cos2^{\circ}cos3^{\circ}}+\ldots+\frac{1}{cos88^{\circ}cos89^{\circ}}=\frac{cos1^{\circ}}{sin^2 1^{\circ}}\)
(106高中數學能力競賽，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3579&page=1#pid23437)
Find the least positive integer \(n\) such that
\(\displaystyle \frac{1}{sin45^{\circ}sin46^{\circ}}+\frac{1}{sin47^{\circ}sin48^{\circ}}+\ldots+\frac{1}{sin133^{\circ}sin134^{\circ}}=\frac{1}{sin n^{\circ}}\)
(2000AIME II，連結有解答
https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_15)
