112嘉義女中

4.
設A=214−1 ，二階方陣X、Y滿足X+Y=I且XY=O，其中I=1001 、O=0000 。若存在實數ab使得A=aX+bY，則ab之值為　　　。
[速解]
計算矩陣A特徵值， 2−14−1−=0，=3−2
因為ab，取a=3b=−2，ab=91
原理請參閱https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262

7.
設n為正奇數，黑箱中有n枚硬幣，其中1枚兩面都是人頭(Head)，1枚兩面都是字(Tail)，其餘的硬幣都是一面人頭和一面字。已知每個硬幣被取出的機會均等，每個硬幣兩面放在手心後朝上的機會也是均等的；將手伸入箱中握住三枚硬幣，取出後將手打開，在此三枚硬幣朝上的面是2個人頭和1個字的條件下，若此三硬幣的另一面是1個人頭和2 個字的機率為74，則正奇數n=　　　。

有置於黑箱中的七枚硬幣，其中一枚兩面皆是人頭，一枚兩面皆是字，其餘五枚一面是人頭一面是字，將手伸入箱中握住一枚硬幣，取出後打開手掌，發現一面是人頭，試問另一面也是人頭的機率是多少？
(1)21　(2)41　(3)72　(4)61　(5)71
97研究用試卷，https://math.pro/db/thread-3767-1-1.html

16.
已知一四邊形的紙張ABCD，其中A=C=90 ，AD=10，CD=5。沿著BD摺起平面ABD，使得點A在平面BCD的投影點P落在\overline{BC}上，若摺起後四面體ABCD的體積為20，則摺起後點B到平面ACD的距離為　　　。

二、計算證明題
1.
設數列\langle\;a_n\rangle\;的遞迴關係式為\cases{a_1=1\cr 3a_{n+1}=\pi \cdot sin(a_n)，n\in N}，
(1)請說明\langle\;a_n\rangle\;是否為有界數列？
(2)請判斷\langle\;a_n\rangle\;是否為遞增數列或遞減數列？請證明之。

2.
在坐標平面上，設點O為原點，已知橢圓\Gamma： \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，其中a>b>0。若P,Q為橢圓\Gamma上任意兩點，試求\Delta OPQ面積之最大值。