105豐原高中

4.
將由左至右的六個位置分別填入0、1、2的數字，成為「三元字串」，例如：201021是一個三元字串。對於兩個三元字串a=a1a2a3a4a5a6與b=b1b2b3b4b5b6，定義a與b的距離為6i=1ai−bi ，意即a1−b1+a2−b2+a3−b3+a4−b4+a5−b5+a6−b6，例如：201021與001011的距離為3(因為它們的第一個足標差和第5個足標差1，加總起來是3)，請問與201021的距離為4的三元字串共有多少個？

將由左至右的六個位置分別填入0或1或2的數字，成為「三元字串」，例如：201021是一個三元字串。對於兩個三元字串a=a1a2a3a4a5a6與b=b1b2b3b4b5b6，定義a與b的距離為滿足ai=bi的下標i的個數。例如：201021與001011的距離為2(因為它們的第一及第五個位置的數字不相同)。
(1)試問與201021的距離為3的三元字串共有多少個？
(2)試求所有三元字串與201021的距離總和。
(100台灣師大個人申請)
[解答]
(1)
與201021的距離為3的三元字串就是僅能改變六個位置中的三個，而且每個改變的位置只能填入其餘的兩個數字，因此一共有C3623=160個。
(2)
從(1)的討論中，可以發現：與201021的距離為k(k=0123456)的三元字串共有Ck62k個。
因此，所有三元字串與201021的距離總和為
6k=0(Ck62k)k=6k=162C5k−12k−1=12(1+2)5=2916 


10.
試將2017分成若干個正整數的和，且令x表每一種表示法的所有正整數乘積。
(例如：2017=2+5+2010，則x=252010=20100)。若x的最大值為a，則試求下列各題之值：
(1)a為何？(以質因數分解表示)
(2)a為幾位數？首位數字是多少?
[提示]
(1)若M ≡ 0(mod 3)，則M=3n，積3n最大。
(2)若M ≡ 1(mod 3)，則M=3n+1=3(n−1)+22，積3n−122最大。
(3)若M ≡ 2(mod 3)，則M=3n+2，積3n2最大。
算式在這裡https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919&page=1#pid1945


12.
Gamble教授買了一張樂透彩券，需從1到30個數字中選出六個數字填入，已知他所選的六個數字分別以6為底數取log後，再加起來為一整數，則Gamble的選法有幾種？

Gamble教授買了一張樂透彩券，需從1到46個數字中選出六個數字填入，已知他所選的六個數字分別以10為底數取log後，再加起來為一整數，若中獎之彩券也是依照此相同之條件，則Gamble教授中獎之機率為
(A)51　(B)41　(C)31　(D)\displaystyle \frac{1}{2}　(E)1
(2000 AMC12，https://www.artofproblemsolving. ... Problems/Problem_23)
AMC12中文歷屆試題https://math.pro/db/attachment.p ... 39&t=1464391918