104台中女中

2.
在ABC中，AB=AC，D為AC的中點，且BD=3 ，若AB=k時，ABC的面積有最大值M。
[提示]
在ABD中，計算cosA。
ABC=21ABACsinA

在△ABC中，AB=AC，D為AC的中點，且BD=3 。試問當∠BAC為何值時，△ABC的面積有最大值？此面積最大值為何？
(94高中數學能力競賽　南區(高雄區)　筆試一試題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)


8.
試求(x−3−2siny)2+(x2−2cosy)2的最小值。
[提示]
(xx2)是拋物線 y=x^2 上一點
(3+2siny,2cosy) 是圓 (x-3)^2+y^2=4 上一點
求兩點距離最小值的平方

設 x,y 為實數，則 (x-2cosy)^2+(3x^2+9-2siny)^2 的最小值為？
(94全國高中數學能力競賽　新竹區，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)


9.
設 \displaystyle \frac{7}{3}\le x \le \frac{9}{2} ， f(x)=\sqrt{3x-7}+2\sqrt{9-2x} ，則 f(x) 最大值為。

若 \displaystyle \frac{3}{4}\le x \le 2 且 f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{4x-3} ，則當 x= ？時 f(x) 有最大值為多少？
(100全國高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1163&page=1#pid3807)


12.
設數列 a_n=\root 3 \of {n^2+2n+1}+\root 3 \of {n^2-1}+\root 3 \of {n^2-2n+1} ， \displaystyle S_{n+1}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}+\ldots+\frac{1}{a_{2n+1}} ，求 \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\root 3 \of {n^2}}\left( \frac{1}{S_{n+1}}+\frac{1}{S_{n+2}}+\frac{1}{S_{n+3}}+\ldots+\frac{1}{S_{2n}} \right) 。
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

設對所有的正整數 n ， a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3\of {n^2-1}+\root 3\of {n^2-2n+1} ， \displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}+\ldots+\frac{1}{a_{997}}+\frac{1}{a_{999}}=
(95基隆市國中聯招)


15.
設多項式 f(x)=x^7+a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 ，其中 a_6,a_5,a_4,a_3,a_2,a_1,a_0 是集合 \{\; 1,2,3,4,\ldots,10 \}\; 中的七個相異元素，若 x^3+x^2+x+1 是多項式 f(x) 的因式，試問有　　　個滿足條件的多項式 f(x) 。

試求有多少個相異的多項式 f(x)=x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7 同時滿足下列2個條件：
(1) a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7 為集合 \{\; 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}\; 中七個相異元素。
(2) f(x) 可被 x^3+x^2+x+1 整除。
(101家齊女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1376&page=2#pid5843)


16.
試求 \displaystyle sin^2(2015)+sin^2(2015+\frac{\pi}{2014})+sin^2(2015+\frac{2\pi}{2014})+\ldots+sin^2(2015+\frac{2013\pi}{2014}) 之值為

設 \displaystyle S=\sum_{k=0}^{90}sin^2 k^{\circ}=sin^2 0^{\circ}+sin^2 1^{\circ}+\ldots+sin^2 90^{\circ} ，試求 S 之值。
(93高中數學能力競賽)


計算2.
一雙曲線，若直線L斜率為 根號3/5和右支交於PQ2點且直線通過焦點，又PQ=8且OP和OQ垂直，求雙曲線方程式?

雙曲線的中心點在原點，兩個焦點皆在x軸上，有一條斜率為 \displaystyle \sqrt{\frac{3}{5}} 的直線通過右焦點並且交雙曲線於P,Q兩點，已知 \overline{OP} 垂直於 \overline{OQ} 且 \overline{PQ}=4 ，求雙曲線方程式。
(101家齊女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1376&page=2#pid5862)