112台中一中

設四面體O−ABC，底面為邊長12的正三角形ABC，且OA=OB=OC，令O在ABC的投影點為H，OH=6，又A在側面OBC的投影點為K，於AK上取一點P，使得AP:PK=5:1。若過P點有一平面E與底面ABC平行，則平面E與四面體O-ABC所截圖形之面積為　　　。
[解答]
架設坐標
B=(0,0,0)、C=(12,0,0)、A=(6,6\sqrt{3} ,0)
因為\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}  
能有H=(6,2\sqrt{3},0)   
又 \overline{OH}=6，得O=(6,2\sqrt{3},6)
平面 \bigtriangleup ABC  ：  3y-\sqrt{3}z=0
利用投影點公式，得 K=(6,{\large\frac{3\sqrt{3} }{2}} ,{\large\frac{9}{2}})  
\overline{AP}：\overline{PK}=5：1   利用內分點公式，找到P=(6,{\large\frac{9\sqrt{3} }{4}} ,{\large\frac{15}{4}})   
由於點P到 xy 平面的高度為{\large\frac{15}{4}}  
所以點O到所求所截出來的面的高度為{\large\frac{9}{4}}  
\Rightarrow {\large\frac{9}{4}}  ：\overline{OH}   ＝ 3 ： 8

因此所求的截面積與底面 \bigtriangleup ABC  的比為
邊長^{2}比＝面積比
3^{2}：8^{2}＝所求截面積：36\sqrt{3}   
所求截面積＝ \Large\frac{81\sqrt{3}}{16}