回覆 1# godofsong 的帖子
計算1.
設\(x\)、\(y\)、\(z\)為正實數，且滿足\(x+y+z=1\)，試證：\(\displaystyle \frac{x-yz}{x+yz}+\frac{y-zx}{y+zx}+\frac{z-xy}{z+xy}\le \frac{3}{2}\)
(參考)
(x - yz)/(x + yz) = 1 - 2yz/(x + yz) , x + yz = x(x+y+z) + yz = (x+y)(x+z).
原不等式等價於 yz/(x+y)(x+z) + zx/(y+z)(y+x) + xy/(z+x)(z+y)大於等於 3/4.
上列左式通分：［ yz(y+z) + zx(z+x) + xy(x+y)］/ (x+y)(y+z)(z+x)
=［ (x+y)(y+z)(z+x) — 2xyz ］/ (x+y)(y+z)(z+x)
= 1 — 2xyz/(x+y)(y+z)(z+x).
由 x+y 大於等於 2ㄏxy，⋯ 可知 xyz/(x+y)(y+z)(z+x)的最大值為1/8，此時 x=y=z=1/3，故得證。
