(出處: 1998 年，自然組)  

設 a > 0，O (0,0) 為原點。在拋物線 ay = a² - x² 上取一點 P(s , t)，s > 0。過 P 點作拋物線之切線，交 x軸, y軸於 Q，R 兩點。當 P 點變動時，△OQR 面積的最小值為何?   答案: (4√3/9)a²

請教若要指導高中生解此題，各位高明會採取何種方法? 謝謝!

感謝 eyeready 老師提供的高見。


先求切線 (可考慮: 切點微分，切點代一半公式，斜率公式) → 截距 → 目標函數 → 微分或算幾不等式求最小值。

這個標準的方法計算量稍大 (以考試時間與對象而言)，所以思及命題者是否另有用意。


自己琢磨一個方法，只是不知道此法在計算題是否可得分:

依題意， ay = a² - x² 在 P 點與 xy = k (k > 0) 相切，所求 = 2k。

⇒  a² - x² = ak/x 有(正)重根 (或者用切點代一半公式於兩曲線，再比較係數)

⇒  x³ - a²x + ak = 0 有(正)重根

⇒  x³ - a²x + ak = 0 與 3x² - a² = 0 有(正)公根 (或者把上式設為 (x-b)²(x-c)，再比較係數)

⇒ 此公根 x = a /√3，代回得 y = 2a /3

⇒ 所求 = 2*(a /√3)*(2a /3) = (4√3/9)a²


請教此法是否適當，或另有其它作法，謝謝!

剛發現本題曾在 101屏東女中 考過 (第8題)

https://math.pro/db/thread-1386-1-9.html


(續 3#)  該方法的構思如下:

類似於若題目求 2x - y 與 x² + y² 的最小值，則我們會分別考慮 2x - y 與 x² + y² 為定值的圖形，再分析該定值變動時的圖形變化一樣 --

依題意，先考慮一個問題: 在第一象限與 x, y 軸所圍三角形面積為定值 c 的所有直線集合為何?

→ 不難想到 (與證明) 其即為 xy = c/2 在第一象限支的所有切線集合 (x, y 軸為雙曲線 xy = c/2 的漸近線)

→ 考慮 xy = c/2 的圖形變化，將 c 由 0 附近遞增，即知當 △OQR 面積有最小值時，該拋物線在 P 點與 xy = c/2 相切

→ 以下如原帖 (3#) 所述  


( 我以前用的圖床不能用了，請教如何把個人電腦裡"小畫家"的檔案直接上傳? )

謝謝版主的回覆!

我也是如此嘗試，但總出現以下畫面:

http://imgur.com/a/4C15C

(圖檔不大， png)


請教是否權限不足?

謝謝版主熱心幫助 (敬禮!!)


我用你的png檔可以可以上傳成功，還是你將來放在imgur，我會幫你上傳到math pro

題目與答案來源是 bugmens 老師提供的連結 https://math.pro/db/thread-2441-1-1.html

(選擇題) 設 f(x) = (x¹⁵+1)(x+1) / (x⁵+1)(x³+1)，則 (A)  f(x) 不是多項式  (B) ...

針對(A)選項，我的想法是: 雖然 f(x) 可以"約分"成多項式型態，但 f(x) 在 x = -1 處無定義，與"約分"後之多項式不同，故(A)是對的。

但答案(A)是錯的，並認為 f(x) = "約分"後之多項式。

請教是否我的觀念有誤，謝謝!

謝謝 thepiano 老師的解答，不知是否該版本的答案有誤?

是否有版友可提供其他來源的解答以供參照，感謝!