回復 60# WAYNE10000 的帖子
1.
已知\(a_1=1\)，\(\displaystyle a_{n+1}=3a_n+\frac{3^n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)，(\(n\in N\))；則\(a_n=\) 。
[解答]
先將分母有理化
接著一個帶一個
你就會發現規律
就可以找出來了!!
\(a_{n+1}=3a_n+3^n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\)
\(a_2=3a_1+3^1(\sqrt{2}-\sqrt{1})\)
\(a_3=3a_2+3^2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\)
\(a_4=3a_3+3^3(\sqrt{4}-\sqrt{3})\)
可找出關係
\(a_3=3^2a_1+3^2(\sqrt{3}-\sqrt{1})\)
其他類推
一項推一項
推到\(n\)
\(a_n=3^{n-1}a_1+3^{n-1}(\sqrt{n}-\sqrt{1})\)
將\(a_1=1\)帶入即可
\(a_n=3^{n-1}+3^{n-1}(\sqrt{n}-\sqrt{1})=3^{n-1}\sqrt{n}\)
