第 M 題
所有連乘之分數均為分子比分母小 1 的正真分數
n 個這樣的分數相乘之最小值 = (1/2)(2/3)(3/4)……[n/(n + 1)] = 1/(n + 1)
1/(n + 1) <= 114/2025
n >= 17

由於 114/2025 = 38/675 = (2 * 19)/(3^3 * 5^2)
考慮 (1/2)(2/3)(3/4)……(17/18)(18/19)(19/20) 這 19 個分數連乘
由於分子需有 19，先拿掉 18/19，此時分母多了 18 = 2 * 3^2 和 20 = 2^2 * 5，要再多 3 * 5，才是 3^3 * 5^2
再拿掉 15/16，此時分母多了 15 = 3 * 5，分子多了 16 = 2^4 跟分母多的 2 * 2^2 約分後剛好是 2

故 n 的最小值是 17

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-29 23:10 編輯 ]

非選 Q
以下 u、v、w 都是向量
u - v = (2，-1，0)、v - w = (-1，2，3)、u - w = (1，1，3)
|u - v| = √5，|v - w| = √14，|u - w| = √11
令 |u| = a，|v| = b，|w| = c
利用 a^2 + b^2 = 5，b^2 + c^2 = 14，c^2 + a^2 = 11
可求出 a^2 = 1，b^2 = 4，c^2 = 10
所求 = abc = √(a^2b^2c^2) = 2√10


以下是比較麻煩的做法
令 u = (x，y，z)、v = (x - 2，y + 1，z)、w = (x - 1，y - 1，z - 3)

利用內積 = 0
可求出 (x，y，z) = ((4 + √10)/9，(-1 + 2√10)/9，(2 - √10)/9)
或 (x，y，z) = ((4 - √10)/9，(-1 - 2√10)/9，(2 + √10)/9)

所求為 u、v、w 三向量所張出的六面體體積 = u、v - w、u - w 三向量所張出的六面體體積 = 2√10

第 L 題
√(1 - x) = 2x^2 - 1 + 2x√(1 - x^2)

令 t = cosθ，0＜θ＜π/2
√(1 - cosθ) = 2(cosθ)^2 - 1 + 2cosθ√[1 - (cosθ)^2]
√[2(sin(θ/2))^2] = cos2θ + 2cosθsinθ
√2 * sin(θ/2) = cos2θ + sin2θ
sin(θ/2) = sin(2θ + π/4)
θ/2 = π - (2θ + π/4)
θ = (3/10)π

t^2 = [cos(3π/10)]^2 = [sin(π/5)]^2 = (5 - √5)/8 ≒ 0.35