計算第 2 題
(1)
  直線AB:y=mx+nmx+n2=6xm2x2+2mn−6x+n2=0x1+x2=−m22mn−6=4n=3m−2my=mx+3m−2m
AB中點為M23m 
垂直平分線：y−3m=−1mx−2 交x軸於C50 
(2)
  y0=3m2mn−62−4m2n20mn23m3m−2m23m23m-23−23y023
(3)
直線AB交x軸於D−nm0 
    y2=6xy=mx+ny2=6my−nmy2−6y+6n=0y1+y2=6my1y2=m6nABC=215+nmy1−y2=215+nmy1+y22−4y1y2=31+1m212−9m2  
令
  t=12−9m21m2=34−9t2ABC=31+34−9t2t=−3t3+7t
最大值為3147 

[ 本帖最後由 thepiano 於 2022-4-16 16:17 編輯 ]

計算第 1 題
(1)
關鍵是先說明 △AEF 是直角三角形 (∠E 是直角)
AF = √2，故 AE = EF = 1 時，△AEF 面積有最大值 1/2

(2)
求出 AC = 2/√3， PC = 4/√3，BC = 2√2/√3
又 PB = 2√2
故 △PCB 是直角三角形 (∠C 是直角)
tanθ = BC / PC = √2/2

填充甲 第 2 題
△PAB/△PAC = sin∠PAB/sin∠PAC = 2/3
sin∠PAB/sin(π/3 - ∠PAB) = 2/3
用和角公式展開可求出
sin∠PAB = √3/√19
sin∠PAC = 3√3/(2√19)

同理可求出
sin∠PBA = √3/√7
sin∠PCA = 3√3/(2√13)

最後用正弦定理可求出 PA^2：PB^2：PC^2 = 19：7：13

第 9 題
把質數由小到大依序排列，第 14 個是 43，第 15 個是 47
若取 1 和前 14 個質數的平方，則這 15 個數兩兩互質且其中無質數

接著證明，從正整數 1 ~ 2022 中任取 16 個兩兩互質的數，則此 16 個數中，必至少有一個質數

假設這 16 個兩兩互質的數中，沒有質數

(1) 這 16 個兩兩互質的數中有 1
若剩下的 15 個合數，分別是 a_1 ~ a_15，且其最小的質因數分別是 p_1 ~ p_15
其中 p_1 < p_2 < ... < p_15
由於 a_1 ~ a_15 互質
a_15 ≧ 47^2 = 2209，不合

(2) 這 16 個兩兩互質的數中沒有 1
證明同 (1)

故從正整數 1 ~ 2022 中任取 16 個兩兩互質的數，則此 16 個數中，必至少有一個質數

[ 本帖最後由 thepiano 於 2022-4-23 14:02 編輯 ]

引用:

原帖由 anyway13 於 2022-4-21 02:37 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=23885&ptid=3621]
(向量AE)(向量EF)內積是1,得不到是直角關係

向量 AE = (1/2，-√2/2，1/2)，向量 EF = (1/2，√2/2，1/2)
內積是 0 喔

第 9 題
題目應該這樣出，比較容易懂
從正整數 1 ~ 2022 中“任”取 n 個兩兩互質的數，且此 n 個兩兩互質的數中，至少有一個質數，那 n 的最小值是多少？

當 n = 3，若任取的三個兩兩互質的數是 1、4、9，因這三個都不是質數，
所以這個例子說明 n 的最小值不是 3