第 10 題
在\(\triangle ABC\)中，\(\angle{C}\)為直角，\(G\)為重心，且\(G\)到\(\overline{BC}\)、\(\overline{AC}\)的距離和為6。若\(\overline{AB}=15\)，求\(\triangle ABC\)的面積=？
[解答]
作 GD 垂直 BC 於 D，GE 垂直 AC 於 E
6 = GD + GE = (1/3)(AC + BC)
AC + BC = 18
又 AC^2 + BC^2 = 15^2
可求出 △ABC = (1/2) * AC * BC = 99/4

第 4 題
設\(x\)為實數，試求\(\displaystyle \frac{x-x^3}{1+2x^2+x^4}\)的最大值=？
[解答]
y = (x - x^3)/(1 + 2x^2 + x^4)
= x(1 - x^2)/(1 + x^2)^2
= (1/2) * [(2x)/(1 + x^2)] * [(1 - x^2)/(1 + x^2)]

令 x = tanθ，tan2θ = (2x)/(1 - x^2)
y = (1/2)sin2θcos2θ = (1/4)sin4θ

當 sin4θ = 1 時，y 有最大值 1/4

第 4 題
設\(x\)為實數，試求\(\displaystyle \frac{x-x^3}{1+2x^2+x^4}\)的最大值=？
[另解]
(1) x = 0，1，-1，(x - x^3)/(1 + 2x^2 + x^4) = 0

(2) x ≠ 0，1，-1
(x - x^3)/(1 + 2x^2 + x^4)
= (1/x - x)/(1/x^2 + 2 + x^2)
= (1/x - x)/[(1/x - x)^2 + 4)]
= 1/[(1/x - x) + 4/(1/x - x)]

1/x - x < 0，1/[(1/x - x) + 4/(1/x - x)] < 0
1/x - x > 0，1/[(1/x - x) + 4/(1/x - x)] ≦ 1/(2√4) = 1/4