第 5 題
PD + PE + PF = (1/2)√3
PD：PE：PF = 1：3：2
PD = (1/12)√3、PE = (1/4)√3、PF = (1/6)√3

過 P 作 HK 平行 AB、JN 平行 BC、IM 平行 CA
△PHI、△PJK、△PMN 均為正三角形
PH = PI = 1/6
PJ = PK = 1/2
PM = PN = 1/3

PA^2 = PK^2 + AK^2 - 2 * PK * AK * cos120∘= 1/4 + 1/9 - 2 * (1/2) * (1/3) * (-1/2) = 19/36
PA = (1/6)√19
同理 PB = (1/6)√7，PC = (1/6)√13

PA + PB + PC = (1/6)(√19 + √7 + √13) < (1/6)(5 + 3 + 4) = 2

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第 6 題
∠BCP = α，∠ACP = (π/2 - α)

若 D 是 CP 上一點
因平面 BCP 和平面 ACP 垂直，故 BD 和 AD 垂直

AB^2 = BD^2 + AD^2 = BD^2 + CD^2 + AC^2 - 2 * CD * AC * cos∠ACP
= (3sinα)^2 + (3cosα)^2 + 4^2 - 2 * 3cosα * 4 * cos(π/2 - α)
= 25 - 12sin2α

當 α = π/4 時，AB 有最小值 √13

4 個小題才 10 分，先跳過

第 9 題 (4)
以下積分範圍都是 0 ~ π/4
1/2 = ∫(tanx)dx + ∫[(tanx)^3]dx
1/4 = ∫[(tanx)^3]dx + ∫[(tanx)^5]dx
1/6 = ∫[(tanx)^5]dx + ∫[(tanx)^7]dx
1/8 = ∫[(tanx)^7]dx + ∫[(tanx)^9]dx
:
:

(1/2 - 1/4) + (1/6 - 1/8) + (1/10 - 1/12) + ...
= ∫(tanx)dx - ∫[(tanx)^n]dx
= ∫(tanx)dx
= ln[sec(π/4)] - ln[sec(0)]
= ln(√2)

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