第 4 題
\(\displaystyle \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}=\left(1+\frac{1}{2024}\right)^{2024}\)，求\(x=\)　　　。
[解答]
1 + 1/x = [x/(x + 1)]^(-1) = [1 - 1/(x + 1)]^(-1) = [1 + 1/-(x + 1)]^(-1)
(1 + 1/x)^(x + 1) = [1 + 1/-(x + 1)]^[-(x + 1)]
-(x + 1) = 2024
x = -2025

第 14 題
若連續自然數的數列\(a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots\)滿足\(\displaystyle log2+log\left(1+\frac{1}{a_1}\right)+log\left(1+\frac{1}{a_2}\right)+\ldots+log\left(1+\frac{1}{a_n}\right)=logn\)，則當此數列有最多項數為\(m\)項時，此自然數數列和\(S_m\)是多少　　　。
[解答]
2 * [(a_1 + 1)/a_1] * [(a_1 + 2)/(a_1 + 1)] * … * [(a_1 + n)/(a_1 + n - 1)] = n
2 * (1 + n/a_1) = n
n = 2/(1 - 2/a_1)
a_1 = 3 時，n 有最大值 6
所求 = 3 + 4 + … + 8 = 33

第 15 題
設複數\(z\)滿足主幅角\(\displaystyle Arg(z+3)=\frac{3}{4}\pi\)，則\(\displaystyle \frac{1}{|\;z-3i|\;+|\;z+6|\;}\)的最大值是　　　。
[解答]
z 在射線 y = -(x + 3) (x < -3) 上
|z - 3i| + |z + 6| = z 到 (0，3) 與到 (-6、0) 距離和
最小值 = √(6^2 + 3^2) = 3√5
所求 = √5/15

第 6 題
設\(m\)為實數，已知直線\(x+my=0\)過定點\(A\)，另一直線\(mx-y-m+3=0\)過定點\(B\)，兩直線交於點\(P(x,y)\)，則線段乘積\(\overline{PA}\cdot \overline{PB}\)的最大值為　　　
[解答]
x + my = 0，過定點 A(0，0)
mx - y - m + 3 = 0，過定點 B(1，3)

易知兩直線垂直
PA^2 + PB^2 = AB^2 = 10

√(PA^2 * PB^2) ≦ (PA^2 + PB^2)/2
PA * PB ≦ 5


第 13 題
在\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=2\)，\(\overline{BC}=1\)，\(\overline{CA}=\sqrt{3}\)，分別在三邊\(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CA}上\)分別各取一點\(D,E,F\)，使得\(\triangle DEF\)為正三角形。設\(\angle FEC=\theta\)，當\(sin\theta\)為多少時，\(\Delta DEF\)周長最短　　　。
[解答]
令 EF = x，CE = xcosθ
∠DEF = ∠DBE = 60 度
∠BDE = ∠FEC = θ

由正弦定理
BE/sinθ = DE/sin60度
BE = (2/√3)xsinθ

xcosθ + (2/√3)xsinθ = 1
x = 1/[cosθ + (2/√3)sinθ] = √3/(2sinθ + √3cosθ] = √3/[√7sin(θ + α)]
當 sin(θ + α) = π/2 時，x 有最小值
此時 sinθ = cosα = 2/√7

第 3 題
設\(x,y,z\in \mathbb{R}\)，若\(x+y+z=3\)，且\(x^2+y^2+z^2=9\)，則\(x+y-2z\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，求數對\((M,m)=\)　　　
[解答]
y = 3 - x - z
x^2 + (3 - x - z)^2 + z^2 = 9
x^2 + (z - 3)x + (z^2 - 3z) = 0
(z - 3)^2 - 4(z^2 - 3z) ≧ 0
-1 ≦ z ≦ 3

-6 ≦ x + y - 2z = 3 - 3z ≦ 6

應該還有一解 65