第 2 題
三角形\(ABC\)中，三頂點\(A,B,C\)對面的三邊長分別為\(a,b,c\)。若\(a+c=2b\)，且角\(\displaystyle A-C=\frac{\pi}{3}\)，試求\(cosB=\)
[解答]
a + c = 2b
sinA + sinC = 2sinB
2sin[(A + C)/2]cos[(A - C)/2] = 4sin(B/2)cos(B/2)
2cos[(A - C)/2] = 4sin(B/2)
√3 = 4sin(B/2)
sin(B/2) = √3 / 4
cosB = 1 - 2[sin(B/2)]^2 = 5/8

填充第 10 題
在直角坐標平面上，已知圓\(C\)的半徑為\(4\sqrt{13}\)且圓心在第三象限。從圓\(C\)外一點\(P\)對圓\(C\)作兩條切線，切點為\(A,B\)而斜率為\(\displaystyle \frac{2}{3},\frac{3}{2}\)。若\(\Delta PAB\)的外接圓的圓心為\((6,4)\)，求圓\(C\)的圓心的座標=　　　。
[解答]
△PAB 外接圓圓心 (6，4) 是 PC 中點
設 C(a，b)，P(-a + 12，-b + 8)
直線 PA：2x - 3y + 2a - 3b = 0
直線 PB：3x - 2y + 3a - 2b - 20 = 0
最後利用 C(a，b)  到兩直線的距離 = 4√13，可求出 a 和 b

第 11 題
設\(\displaystyle a_n=sin\frac{1^{\circ}}{n}\cdot \frac{1\times 2\times 3\times 4+2\times 3\times 4\times 5+\ldots+n(n+1)(n+2)(n+3)}{1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+\ldots+n(n+1)(n+2)}\)。求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)　　　。
[解答]
1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + ... + n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)/4
1 * 2 * 3 * 4 + 2 * 3 * 4 * 5 + ... + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)/5

第 7 題
以知實係數二次方程式\(x^2-ax+b=0\)有兩實根\(\alpha,\beta\)滿足\(-1\le \alpha\le 0\)且\(1\le \beta\le 2\)，若\(a^2+b^2\)有最大值\(M\)與最小值\(m\)，則數對\((M,m)=\)　　　　。
[解答]
f(x) = x^2 - ax + b
畫圖可知
f(-1) = 1 + a + b >= 0
f(0) = b <= 0
f(1) = 1 - a + b <= 0
f(2) = 4 - 2a + b >= 0
畫出以上四個不等式的圖形，所求即是以原點為圓心的圓，其半徑長平方的最大與最小值