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官方只有公布題目，沒有答案

參考答案是小弟隨意寫的，有錯請指正

其中第二部份第 4 題出得不好，其實會有無限多組解

第 2 部份
第 2 題
ABC中，若AB=AC，A=40 ，且P為AB邊上的一點使得APC=120 ，則BCAP=　　　。
[解答]
令 BC = 1，所求為 AP
∠A = 40 度，∠B = 70 度，∠BPC = 60 度，∠ACP = 20 度

以下度省略
PC / sin70 = 1 / sin60
PC / sin40 = AP / sin20

AP * sin40 / sin20 = sin70 / sin60
AP = (sin70 * sin20) / (sin40 * sin60) = (cos20 * sin20) / (2sin20cos20 * sin60) = √3 / 3


第 5 題
已知三角形三個高分別為7 、5 、h，若h的範圍為ahb，則a+b=　　　。
[解答]
設三邊分別為 x，y，z
√7x = √5y = hz
x：y：z = 1/√7：1/√5：1/h

1/√5 - 1/√7 ＜ 1/h ＜ 1/√5 + 1/√7
1 / (1/√5 + 1/√7) ＜ h ＜ 1 / (1/√5 - 1/√7)
(7√5 - 5√7) / 2 ＜ h ＜ (7√5 + 5√7) / 2

a + b = 7√5


第 7 題
兩圓分別為C1：x2+y2=25與C2：(x−10)2+y2=4，已知此二圓有四條公切線，其中兩條之斜率為正，且其交角為，則sin之值為　　　。
[解答]
設公切線為 y = ax + b，其中 a ＞ 0，b ＜ 0
| b | / √(a^2 + 1) = 5，| 10a + b | / √(a^2 + 1) = 2

解以下方程
(- b) / √(a^2 + 1) = 5，(10a + b) / √(a^2 + 1) = 2
(- b) / √(a^2 + 1) = 5，- (10a + b) / √(a^2 + 1) = 2

可得兩公切線為 y = (7/√51)x - (50/√51) 和 y = (3/√91)x - (50/√91)

tanθ = (7/√51 - 3/√91) / [ 1 + (7/√51)(3/√91)] = (7√91 - 3√51) / (√51 * √91 + 21)

sinθ =  (7√91 - 3√51) / 100

對，小弟疏忽了

第二部分 第 8 題
現有編號1、2、3、…、9的卡片9張，甲從其中任選3張，乙再從剩下的卡片選3張，並且依下列規則比大小：
第一回合：兩人手中最大號碼的卡片比較數字大小；
第二回合：兩人手中第二大號碼的卡片比較數字大小；
第三回合：兩人手中最小號碼的卡片比較數字大小；
每回合數字大者該回合獲勝，三回合獲勝較多者為贏家。則甲有兩回合獲勝的情況有　　　種。
[解答]
從 9 張牌中取 6 張牌有 C(9，6) = 84 種方法
3 張給甲，3 張給乙

取出的 6 張牌可由小到大排列

設取出的 6 張牌為 1、2、3、4、5、6
有以下 5 種情形，甲有兩回合獲勝

甲：6、5、1
乙：4、3、2

甲：6、4、1
乙：5、3、2

甲：6、3、2
乙：5、4、1

甲：5、4、3
乙：6、2、1

甲：5、4、2
乙：6、3、1

所求 = 84 * 5 = 420

第二部分的第 6 題
已知ADO、OBC皆為正三角形，AO=2、BO=4且D、O、B三點共線，M、N、P分別為AO、BO、DC中點，則\Delta MNP面積=　　　。
[解答]
國中生的作法
取 OC 中點 Q，OD 中點 R
OM = RM = QP = 1，ON = RP = QN = 2 ，∠MON =  ∠MRP =  ∠PQN = 120 度
△MON、△MRP、△PQN 全等
△MPN 是正三角形
再算出邊長 √7，就有面積了