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計算第 3 題 (3)
令\(\Gamma_n\)為直角坐標平面上方程式\(|\;x|\;^n+|\;y|\;^n=2^n\)的圖形。
(1)試描繪\(\Gamma_1\)及\(\Gamma_2\)。
(2)設\(x+y=a_n\)是\(\Gamma_n\)的切線，他們相切於第一象限。試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n\)。
(3)令\(|\;\Gamma_n|\;\)表示\(\Gamma_n\)所圍平面區域(原點在其內部)的面積。試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}|\;\Gamma_n|\;\)，應說明理由。
[解答]
Γ_n 的圖形與正向 x 軸交於 (2，0)，與正向 y 軸交於 (0，2)
由 (2)，當 n → ∞，x + y = 4 是 Γ_n 在第一象限的切線，切點是 (2，2)
所求 = Γ_n 在第一象限所圍的面積 * 4 = 16
