計算第 1 題
已知\(\displaystyle C_k^n=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)，考慮所有滿足\(C_2^n-C_2^m=2025\)的正整數\(n,m\)，求\(n-m\)的最大值。
[解答]
C(n，2) - C(m，2) = 2025
n(n - 1)/2 - m(m - 1)/2 = 2025
(n - m)(n + m - 1) = 4050 = 54 * 75 = ......
由於 n - m < n + m - 1
故 n - m 的最大值為 54


計算第 3 題
設\(P\)是三角形\(ABC\)內一點，滿足\(\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA\)。設\(D,E,F\)分別是\(P\)到\(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CA}\)三邊的垂足。試證：三角形\(DEF\)與三角形\(ABC\)相似。
[解答]
A、D、P、F 四點共圓
∠PDF = ∠PAF

B、D、P、E 四點共圓
∠PDE = ∠PBC = ∠PAB

∠FDE = ∠PDF + ∠PDE = ∠PAF + ∠PAB = ∠BAC
同理 ∠DEF = ∠ABC
△DEF 和 △ABC 相似 (AA 相似)

是填充吧？

填充第 2 題
有8位數學系學生(座號分別為1到8)及5位物理系學生(座號分別為9到13)。若將這13人分成無次序之分的兩組，任兩位座號相鄰的物理系學生不能分到同一組，且兩組之間，數學系學生的人數差不超過2，則總共有　　　種不同的分組方式。
[解答]
物理系分成 (9、11、13) 和 (10、12) 兩組

(1) 兩組中，數學系都是 4 人
加入物理系，[C(8，4)/2] * 2 = 70

(2) 兩組中，一組數學系 5 人，一組數學系 3 人
加入物理系，C(8，5) * 2 = 112

所求 = 70 + 112 = 182

填充第 5 題
將6顆編號1至6的球分別放進四個盒子，編號1的球放進第一個盒子，編號2和編號3的球放進第二個盒子，編號4和編號5的球放進第三個盒子，編號6的球放進第四個盒子。若重複隨機抽取一個盒子(每個盒子被抽到的機率均等)，再從這個盒中隨機抽取一顆球(每顆球被抽到的機率均等)。進行兩次這樣的試驗，則過程中看到不同編號球之數量期望值為　　　(四捨五入到小數點後第四位)。
[解答]
先算過程中看到 "相同" 編號球之數量期望值

兩次都抽到 1 或 6 的機率是 (1/4)^2 = 1/16
期望值和 = 1/16 * 2 = 1/8

兩次都抽到 2 或 3 或 4 或 5 的機率是 (1/4 * 1/2)^2 = 1/64
期望值和 = 1/64 * 4 = 1/16

所求 = 2 - 1/8 - 1/16 = 29/16 = 1.8125