114.4.30新增試題疑義答覆
填充題第5題
將6顆編號1至6的球分別放進四個盒子，編號1的球放進第一個盒子，編號2和編號3的球放進第二個盒子，編號4和編號5的球放進第三個盒子，編號6的球放進第四個盒子。若重複隨機抽取一個盒子（每個盒子被抽到的機率均等），再從這個盒中隨機抽取一顆球（每顆球被抽到的機率均等）。進行兩次這樣的試驗，則過程中看到不同編號球之數量期望值為　　　(四捨五入到小數點後第四位)。

回覆：
題目中的「過程中看到不同編號球之數量期望值」依中文直觀語意，應解讀為：兩次抽球總共看見幾種編號，因此期望值為1.8125。若要把出現同號視為0種，則應在題目中明確說明，例如：「若出現同號則當成看到0種」，否則容易產生歧義。

結論：本題維持原答案

1.
已知實數\(x,y\)滿足\(log_2(x+1)+log_2(y+1)=4\)以及\(xy-x-y=-1\)，則\(x+y\)之值為　　　。

3.
已知\(f(x)=x^4-6x^2+\alpha x+(5-\alpha)\)有三重根，則實數\(\alpha\)的所有可能值為　　　。


6.
若方程式\(x^5+x^2+1=0\)之五根為\(r_1,r_2,r_3,r_4,r_5\)，令\(P(x)=x^2-2\)，則\(P(r_1)P(r_2)P(r_3)P(r_4)P(r_5)\)之值為　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=969&page=1#pid2254

8.
已知\(\displaystyle \frac{n^5+2n^2+1}{n^2+3}\)為整數，則所有可能的整數\(n\)為　　　。

10.
無窮級數\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}cos\frac{n\pi}{3}\)之值為　　　。

計算第 1 題
已知\(\displaystyle C_k^n=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)，考慮所有滿足\(C_2^n-C_2^m=2025\)的正整數\(n,m\)，求\(n-m\)的最大值。
[解答]
C(n，2) - C(m，2) = 2025
n(n - 1)/2 - m(m - 1)/2 = 2025
(n - m)(n + m - 1) = 4050 = 54 * 75 = ......
由於 n - m < n + m - 1
故 n - m 的最大值為 54


計算第 3 題
設\(P\)是三角形\(ABC\)內一點，滿足\(\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA\)。設\(D,E,F\)分別是\(P\)到\(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CA}\)三邊的垂足。試證：三角形\(DEF\)與三角形\(ABC\)相似。
[解答]
A、D、P、F 四點共圓
∠PDF = ∠PAF

B、D、P、E 四點共圓
∠PDE = ∠PBC = ∠PAB

∠FDE = ∠PDF + ∠PDE = ∠PAF + ∠PAB = ∠BAC
同理 ∠DEF = ∠ABC
△DEF 和 △ABC 相似 (AA 相似)

9.
將1、2、3、4、5、6、7這七個數字作適當的排列，使得相鄰兩數之和為質數。求共有　　　種排列方式。
[解答]
有比較快的想法嗎?
質數中偶數僅有2
故必定奇偶相間，又因4奇3偶
必定奇偶奇偶奇偶奇
又奇數1,3,5,7,"9",11,13，僅9不為質數
故原題相當27,45,63不相鄰
_偶_偶_偶_
中間兩格奇數皆有2種選擇，但會有一重疊
當沒有選到重疊者選法唯一，兩側端點其一任選，剩下的自動決定
選到重疊者決定哪一格放重疊的，兩側端點其一選項唯一，剩下自動決定
故共3!*(1*2+2*1)=24

計2
已知對任意的正實數\(a_1,a_2,\ldots,a_n\)，滿足下列不等式恆成立：
\(a_1+2a_2+\ldots+na_n<2025+(a_1+a_2^2+\ldots+a_n^n)\)，求\(n\)的最大值。
[解答]
kx-x^k
微分得到k-kx^(k-1)=k(1-x)(1+...+x^(k-2))
當x>0,後者恆正，最大值皆發生在x=1
=>n(n-1)/2<2025
=>n^2-n-4050<0
=>等號發生時，n=1/2+sqrt(16201)/2=64.142
=>n=64

請問單選2,5

是填充吧？

填充第 2 題
有8位數學系學生(座號分別為1到8)及5位物理系學生(座號分別為9到13)。若將這13人分成無次序之分的兩組，任兩位座號相鄰的物理系學生不能分到同一組，且兩組之間，數學系學生的人數差不超過2，則總共有　　　種不同的分組方式。
[解答]
物理系分成 (9、11、13) 和 (10、12) 兩組

(1) 兩組中，數學系都是 4 人
加入物理系，[C(8，4)/2] * 2 = 70

(2) 兩組中，一組數學系 5 人，一組數學系 3 人
加入物理系，C(8，5) * 2 = 112

所求 = 70 + 112 = 182

填充第 5 題
將6顆編號1至6的球分別放進四個盒子，編號1的球放進第一個盒子，編號2和編號3的球放進第二個盒子，編號4和編號5的球放進第三個盒子，編號6的球放進第四個盒子。若重複隨機抽取一個盒子(每個盒子被抽到的機率均等)，再從這個盒中隨機抽取一顆球(每顆球被抽到的機率均等)。進行兩次這樣的試驗，則過程中看到不同編號球之數量期望值為　　　(四捨五入到小數點後第四位)。
[解答]
先算過程中看到 "相同" 編號球之數量期望值

兩次都抽到 1 或 6 的機率是 (1/4)^2 = 1/16
期望值和 = 1/16 * 2 = 1/8

兩次都抽到 2 或 3 或 4 或 5 的機率是 (1/4 * 1/2)^2 = 1/64
期望值和 = 1/64 * 4 = 1/16

所求 = 2 - 1/8 - 1/16 = 29/16 = 1.8125

是填充 謝謝鋼琴老師回覆

整理一些解答，也有參考老師們的寫法，供參考
填充5 一開始看不懂題意~
填充9 先排奇數 可能會快一些