第 5 題
已知兩複數zw滿足z+w=z2+w2=323i ，其中i=−1 。則Re(z)=　　　。
[解答]
z = a + (√3/3 + b)i，w = -a + (√3/3 - b)i，a 和 b 為實數
z^2 + w^2 = (2a^2 - 2b^2 - 2/3) + 4abi = (2√3/3)i

a^2 - b^2 = 1/3
b = √3/(6a)

可解出 a^2 = 1/2
|a| = √2/2

第 7 題
平面上有一定點A(−33)及一圓C：x2+y2−4x−4y+k=0，若光源由A點射出，碰到x軸上P、Q兩點形成的兩條反射光線恰好與圓C相切，且PQ=47，求k之值。
[解答]
A 關於 x 軸的對稱點 A'(-3，-3)
直線 A'P 與 A'Q 與圓 C：(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8 - k 相切

直線 A'P：mx - y + 3m - 3 = 0，直線 A'Q：y = nx - y + 3n - 3 = 0，其中 n > m > 0
P(3/m - 3，0)、Q(3/n - 3，0)
PQ = 3/m - 3/n = 7/4

C(2，2) 到直線 A'P 與 A'Q 的距離相等
|5m - 5|/√(m^2 + 1) = |5n - 5|/√(n^2 + 1)
(m - 1)^2/(m^2 + 1) = (n - 1)^2/(n^2 + 1)
mn = 1

3/m - 3/n = 7/4
mn = 1
可解出 m = 3/4，n = 4/3

8 - k = (5m - 5)^2/(m^2 + 1) = 1
k = 7

第 4 題
已知曲線x2+2xy+2y2−2x−2y=0恰與圓x2+y2=1交於兩點。其中一個交點為(01)，則另一交點的坐標為　　　。
[解答]
x^2 + 2xy + 2y^2 - 2x - 2y = 0
x^2 + y^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y = 0
1 + 2xy + y^2 - 2x - 2y = 0
2x(y - 1) + (y - 1)^2 = 0
(y - 1)(2x + y - 1) = 0
y = 1 or y = 1 - 2x

(1) y = 1，x = 0
(2) y = 1 - 2x，x^2 + (1 - 2x)^2 = 1
x = 4/5，y = -3/5

第 11 題
小明給阿花7顆巧克力當禮物，然後小明跟阿花說：「你每天至少要吃一顆巧克力，表示你有想念我，當然你要一次吃好多顆也可以喔。」設隨機變數X代表阿花吃完巧克力的天數，X=127，求期望(E(X)\)。
[解答]
1 天吃完：1 種情形
2 天吃完：H(2，5) = 6 種情形
3 天吃完：H(3，4) = 15 種情形
4 天吃完：H(4，3) = 20 種情形
5 天吃完：H(5，2) = 15 種情形
6 天吃完：H(6，1) = 6 種情形
7 天吃完：1 種情形
以上共 64 種情形

所求 = (1 * 1 + 2 * 6 + 3 * 15 + 4 * 20 + 5 * 15 + 6 * 6 + 7 * 1)/64 = 4