8.
如圖，ABC為直角三角形，其中C=90 ，AB=36，而BC上的中線為：x+2y=0，AC上的中線為：x+y=0，求ABC的面積。

令三角形ABC為在xy平面上的直角三角形，其中C 為直角。給定斜邊AB的長度為60，且穿過A與B的中線分別為y=x+3與y=2x+4，試求三角形ABC的面積。
(102年度第2學期中山大學雙週一題，https://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2014s/2ans.pdf)

9.
已知a0=21，an=(21+an−1)21，nN，求limn4n(1−an)。

設a0=23an=21+an−121，試求limn4n(1−an)的值為　　　。
(111竹北高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3629&page=1#pid23927)

12.
設f(x)為一實值函數，且滿足f(x)−2f(x1)−x3=0，求[f(x)]2的最小值。

函數f(x)滿足f(x)+f(xx−1)=x1+x+x2，試求100k=2f(k)= ？
(101台南二中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5275)

填充2
小崙從集合S=12345678中選取5個子集合A1A2A3A4A5。已知n(A1)=1、n(A_2)=2、n(A_3)=3、n(A_4)=4、n(A_5)=5，若對於1\le i<j\le 5，必須滿足「A_i \bigcap A_j=∅或A_i\subset A_j，請問小崙有　　　種選取方式？
[解答]

想請問4、5、7

第 5 題
已知兩複數z,w滿足\displaystyle z+w=z^2+w^2=\frac{2\sqrt{3}}{3}i，其中i=\sqrt{-1}。則|\;Re(z)|\;=　　　。
[解答]
z = a + (√3/3 + b)i，w = -a + (√3/3 - b)i，a 和 b 為實數
z^2 + w^2 = (2a^2 - 2b^2 - 2/3) + 4abi = (2√3/3)i

a^2 - b^2 = 1/3
b = √3/(6a)

可解出 a^2 = 1/2
|a| = √2/2

第 7 題
平面上有一定點A(-3,3)及一圓C：x^2+y^2-4x-4y+k=0，若光源由A點射出，碰到x軸上P、Q兩點形成的兩條反射光線恰好與圓C相切，且\displaystyle \overline{PQ}=\frac{7}{4}，求k之值。
[解答]
A 關於 x 軸的對稱點 A'(-3，-3)
直線 A'P 與 A'Q 與圓 C：(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8 - k 相切

直線 A'P：mx - y + 3m - 3 = 0，直線 A'Q：y = nx - y + 3n - 3 = 0，其中 n > m > 0
P(3/m - 3，0)、Q(3/n - 3，0)
PQ = 3/m - 3/n = 7/4

C(2，2) 到直線 A'P 與 A'Q 的距離相等
|5m - 5|/√(m^2 + 1) = |5n - 5|/√(n^2 + 1)
(m - 1)^2/(m^2 + 1) = (n - 1)^2/(n^2 + 1)
mn = 1

3/m - 3/n = 7/4
mn = 1
可解出 m = 3/4，n = 4/3

8 - k = (5m - 5)^2/(m^2 + 1) = 1
k = 7

第 4 題
已知曲線x^2+2xy+2y^2-2x-2y=0恰與圓x^2+y^2=1交於兩點。其中一個交點為(0,1)，則另一交點的坐標為　　　。
[解答]
x^2 + 2xy + 2y^2 - 2x - 2y = 0
x^2 + y^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y = 0
1 + 2xy + y^2 - 2x - 2y = 0
2x(y - 1) + (y - 1)^2 = 0
(y - 1)(2x + y - 1) = 0
y = 1 or y = 1 - 2x

(1) y = 1，x = 0
(2) y = 1 - 2x，x^2 + (1 - 2x)^2 = 1
x = 4/5，y = -3/5

想請教一下 填充10   謝謝

引用:

原帖由 zj0209 於 2024-6-12 20:27 發表
想請教一下 填充10   謝謝

#10
設\alpha,\beta為方程式：3sin2x+4cos2x=1的二根，求sin2(\alpha+\beta)之值。
[解答]
(題目要先講α,β為相異兩根,且為不同象限角)
3sin(2α)+4cos(2α)=1
sin(2α+θ)=1/5 ,其中sinθ=4/5,cosθ=3/5
同理sin(2β+θ)=1/5 ,其中sinθ=4/5,cosθ=3/5
所以(2α+θ)+(2β+θ)=π+2kπ(k∈ℤ)
所求
=sin(2α+2β)=sin(π+2kπ-2θ)
=sin(2θ)=2sinθ*cosθ=2*(4/5)*(3/5)=24/25

謝謝橢圓老師