8.
如圖，\(\Delta ABC\)為直角三角形，其中\(\angle C=90^{\circ}\)，\(\overline{AB}=36\)，而\(\overline{BC}\)上的中線為：\(x+2y=0\)，\(\overline{AC}\)上的中線為：\(x+y=0\)，求\(\Delta ABC\)的面積。

令三角形\(ABC\)為在\(xy\)平面上的直角三角形，其中\(\angle C\)為直角。給定斜邊\(AB\)的長度為60，且穿過\(A\)與\(B\)的中線分別為\(y=x+3\)與\(y=2x+4\)，試求三角形\(ABC\)的面積。
(102年度第2學期中山大學雙週一題，https://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2014s/2ans.pdf)

9.
已知\(\displaystyle a_0=\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle a_n=(\frac{1+a_{n-1}}{2})^{\frac{1}{2}}\)，\(\forall n\in N\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}4^n \cdot (1-a_n)\)。

設\(\cases{\displaystyle a_0=\frac{\sqrt{3}}{2} \cr a_n=\left(\frac{1+a_{n-1}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}4^n(1-a_n)\)的值為　　　。
(111竹北高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3629&page=1#pid23927)

12.
設\(f(x)\)為一實值函數，且滿足\(\displaystyle f(x)-2f(\frac{1}{x})-\frac{3}{x}=0\)，求\([f(x)]^2\)的最小值。

函數\(f(x)\)滿足\(\displaystyle f(x)+f(\frac{x-1}{x})=\frac{1+x+x^2}{x}\)，試求\(\displaystyle \sum_{k=2}^{100}f(k)=\)？
(101台南二中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5275)

填充2
小崙從集合\(S=\{\;1,2,3,4,5,6,7,8 \}\;\)中選取5個子集合\(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5\)。已知\(n(A_1)=1\)、\(n(A_2)=2\)、\(n(A_3)=3\)、\(n(A_4)=4\)、\(n(A_5)=5\)，若對於\(1\le i<j\le 5\)，必須滿足「\(A_i \bigcap A_j=∅\)或\(A_i\subset A_j\)，請問小崙有　　　種選取方式？
[解答]

想請問4、5、7

第 5 題
已知兩複數\(z,w\)滿足\(\displaystyle z+w=z^2+w^2=\frac{2\sqrt{3}}{3}i\)，其中\(i=\sqrt{-1}\)。則\(|\;Re(z)|\;=\)　　　。
[解答]
z = a + (√3/3 + b)i，w = -a + (√3/3 - b)i，a 和 b 為實數
z^2 + w^2 = (2a^2 - 2b^2 - 2/3) + 4abi = (2√3/3)i

a^2 - b^2 = 1/3
b = √3/(6a)

可解出 a^2 = 1/2
|a| = √2/2

第 7 題
平面上有一定點\(A(-3,3)\)及一圓\(C\)：\(x^2+y^2-4x-4y+k=0\)，若光源由\(A\)點射出，碰到\(x\)軸上\(P\)、\(Q\)兩點形成的兩條反射光線恰好與圓\(C\)相切，且\(\displaystyle \overline{PQ}=\frac{7}{4}\)，求\(k\)之值。
[解答]
A 關於 x 軸的對稱點 A'(-3，-3)
直線 A'P 與 A'Q 與圓 C：(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8 - k 相切

直線 A'P：mx - y + 3m - 3 = 0，直線 A'Q：y = nx - y + 3n - 3 = 0，其中 n > m > 0
P(3/m - 3，0)、Q(3/n - 3，0)
PQ = 3/m - 3/n = 7/4

C(2，2) 到直線 A'P 與 A'Q 的距離相等
|5m - 5|/√(m^2 + 1) = |5n - 5|/√(n^2 + 1)
(m - 1)^2/(m^2 + 1) = (n - 1)^2/(n^2 + 1)
mn = 1

3/m - 3/n = 7/4
mn = 1
可解出 m = 3/4，n = 4/3

8 - k = (5m - 5)^2/(m^2 + 1) = 1
k = 7

第 4 題
已知曲線\(x^2+2xy+2y^2-2x-2y=0\)恰與圓\(x^2+y^2=1\)交於兩點。其中一個交點為\((0,1)\)，則另一交點的坐標為　　　。
[解答]
x^2 + 2xy + 2y^2 - 2x - 2y = 0
x^2 + y^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y = 0
1 + 2xy + y^2 - 2x - 2y = 0
2x(y - 1) + (y - 1)^2 = 0
(y - 1)(2x + y - 1) = 0
y = 1 or y = 1 - 2x

(1) y = 1，x = 0
(2) y = 1 - 2x，x^2 + (1 - 2x)^2 = 1
x = 4/5，y = -3/5

想請教一下 填充10   謝謝

引用:

原帖由 zj0209 於 2024-6-12 20:27 發表
想請教一下 填充10   謝謝

#10
設\(\alpha,\beta\)為方程式：\(3sin2x+4cos2x=1\)的二根，求\(sin2(\alpha+\beta)\)之值。
[解答]
(題目要先講α,β為相異兩根,且為不同象限角)
3sin(2α)+4cos(2α)=1
sin(2α+θ)=1/5 ,其中sinθ=4/5,cosθ=3/5
同理sin(2β+θ)=1/5 ,其中sinθ=4/5,cosθ=3/5
所以(2α+θ)+(2β+θ)=π+2kπ(k∈ℤ)
所求
=sin(2α+2β)=sin(π+2kπ-2θ)
=sin(2θ)=2sinθ*cosθ=2*(4/5)*(3/5)=24/25

謝謝橢圓老師