第 7 題
平面上有一定點
A(−3
3)及一圓
C:
x2+y2−4x−4y+k=0,若光源由
A點射出,碰到
x軸上
P、
Q兩點形成的兩條反射光線恰好與圓
C相切,且
PQ=47,求
k之值。
[解答]
A 關於 x 軸的對稱點 A'(-3,-3)
直線 A'P 與 A'Q 與圓 C:(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8 - k 相切
直線 A'P:mx - y + 3m - 3 = 0,直線 A'Q:y = nx - y + 3n - 3 = 0,其中 n > m > 0
P(3/m - 3,0)、Q(3/n - 3,0)
PQ = 3/m - 3/n = 7/4
C(2,2) 到直線 A'P 與 A'Q 的距離相等
|5m - 5|/√(m^2 + 1) = |5n - 5|/√(n^2 + 1)
(m - 1)^2/(m^2 + 1) = (n - 1)^2/(n^2 + 1)
mn = 1
3/m - 3/n = 7/4
mn = 1
可解出 m = 3/4,n = 4/3
8 - k = (5m - 5)^2/(m^2 + 1) = 1
k = 7