\(\begin{align}
  & \sqrt{{{b}^{2}}+7bc+{{c}^{2}}}-(b+c)<\sqrt{abc}<\sqrt{{{b}^{2}}+7bc+{{c}^{2}}}+(b+c) \\
& \sqrt{\frac{b}{c}+7+\frac{c}{b}}-\sqrt{\frac{b}{c}+2+\frac{c}{b}}<\sqrt{a}<\sqrt{\frac{b}{c}+7+\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}+2+\frac{c}{b}} \\
& \frac{5}{\sqrt{\frac{b}{c}+7+\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}+2+\frac{c}{b}}}<\sqrt{a}<\sqrt{\frac{b}{c}+7+\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}+2+\frac{c}{b}} \\
& 1=\frac{5}{\sqrt{2+7}+\sqrt{2+2}}<\sqrt{a}<\sqrt{2+7}+\sqrt{2+2}=5 \\
& 1<a<25 \\
\end{align}\)

有 bug

第 1 題
將7個黑點，13個白點排成一列，已知每一種排法出現的機率相同。今任一選一種排法，令隨機變數\(X\)為黑點與白點相鄰的次數。例如若選出的排法為○●●○○○●○●○○○●○●○○●○○，則\(X=12\). 試求出\(X\)的期望值為______
[解答]
黑點與白點相鄰的的情形有 "●○" 和 "○●"
"●○" 可放的位置有 19 個

其餘的 6 個 ● 和 12 個 ○ 有 C(18，6) 種排法
同理，"○●" 亦同

所求 = [C(18，6) * 19 * 2] / C(20，7) = 91/10

第 2 題
設\(a,b\)為互質的正整數且都不小於10，若\(7a+11b\)為13的倍數，求\(a+b\)的最小值
[解答]
7a + 11b 是 13 的倍數
14a + 22b 是 13 的倍數
a + 9b 是 13 的倍數

b = 10，a 最小 27
b = 11，a 最小 18，這組應是 a + b 最小
b = 12，a 最小 35
b = 13，不用試，a 必為 13 的倍數，兩者不互質
b = 14，a 最小 17
b = 15，a 最小 34
b = 16，a 最小 25
b = 17，a 最小 16
b = 18，a 最小 59
b = 19，a 最小 11
b 檢驗到此即可

a 檢驗 a = 10、12、14、15、19 即可