計算第5題
已知斜三稜柱ABC−A1B1C1的各稜長均為2，測稜BB1與底面ABC所成角為3，且側面ABB1A1⊥底面ABC.
(1)證明：點B1在平面ABC上的投影點O為AB的中點.
(2)求點C1到平面CB1A的距離.
[證明]
(1) 面ABB1A1垂直面ABC，B1在面ABC上的投影點O在AB上
B1BO=60B1B=2BO=1 ，O為AB中點

(2) 四面體C1−CB1A、B−CB1A、A−A1B1C1的體積均為斜三稜柱的31
設C1到面CB1A的距離為h
\begin{align}   & \overline{AC}=2,\overline{A{{B}_{1}}}=\overline{B{{B}_{1}}}=2,\overline{C{{B}_{1}}}=\sqrt{{{\overline{O{{B}_{1}}}}^{2}}+{{\overline{OC}}^{2}}}=\sqrt{3+3}=\sqrt{6} \\ & \Delta C{{B}_{1}}A=\frac{\sqrt{15}}{2} \\ & \frac{\sqrt{15}}{2}\times h\times \frac{1}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times {{2}^{2}}\times \sqrt{3}\times \frac{1}{3} \\ & h=\frac{2}{5}\sqrt{15} \\ \end{align}

計算第4題
4.
已知數列\langle\;a_n \rangle\;，滿足\cases{a_1=1 \cr a_{n+1}=2a_n+1,(n \in N)}；
(1)求數列\langle\;a_n \rangle\;的一般式.
(2)若數列\langle\;b_n \rangle\;滿足4^{b_1-1}\cdot 4^{b_2-1}\cdot 4^{b_3-1}\cdot \ldots \cdot 4^{b_n-1}=(a_n+1)^{b_n}，試證數列\langle\;b_n \rangle\;為等差數列.
[解答]
\begin{align}   & {{a}_{n}}={{2}^{n}}-1 \\ & {{4}^{{{b}_{1}}-1}}={{\left( {{a}_{1}}+1 \right)}^{{{b}_{1}}}}={{2}^{{{b}_{1}}}} \\ & {{b}_{1}}=2 \\ & {{4}^{{{b}_{1}}-1}}\times {{4}^{{{b}_{2}}-1}}\times {{4}^{{{b}_{3}}-1}}\times \cdots \cdots \times {{4}^{{{b}_{n}}-1}}={{\left( {{a}_{n}}+1 \right)}^{{{b}_{n}}}} \\ & {{2}^{2\left( {{b}_{1}}+{{b}_{2}}+{{b}_{3}}+\cdots \cdots +{{b}_{n}}-n \right)}}={{2}^{n{{b}_{n}}}} \\ & 2\left( {{b}_{1}}+{{b}_{2}}+{{b}_{3}}+\cdots \cdots +{{b}_{n}}-n \right)=n{{b}_{n}} \\ & {{b}_{1}}+{{b}_{2}}+{{b}_{3}}+\cdots \cdots +{{b}_{n}}=\frac{n{{b}_{n}}+2n}{2}=\frac{n\left( {{b}_{1}}+{{b}_{n}} \right)}{2} \\ \end{align}

一路領先問題，可參考這篇的說明
h ttp://b014.hchs.hc.edu.tw/ezfiles/14/1014/img/161/100195181.pdf　連結已失效

x 軸是巧克力，y 軸是棒棒糖

從 (5，7) 往左或往下走捷徑到 (0，0)

由於剩下的巧克力不多於(少於或等於)剩下的棒棒糖，故能碰到綠線但不能碰到紅線

從 (5，7) 往左或往下走捷徑到 (0，0) 且會碰到紅線的每一種走法，恰對應一種從 (8，4) 往左或往下走到 (0，0) 的走法

故所有可能情形 = C(12，7) - C(12，8)