第2題幫確定(集氣)是n,
k=02k+1n+2k=k=0n2k−n2k+1=n=nnN 

寸絲兄你這個算式才神吧 XD
是用了 x+x+21=2x  沒錯

解一題填充2：
以前看過類似的題目，是兩人賭錢的問題求某人把錢贏光的機率：
本題假設Pn的一般項Pk表示一開始位置落在數線上k時，質點能落在-1的機率，則所求為P0.
(1) 先觀察 P0=31+32P1,
(2) P1表示一開始在1要走到-1的機率，由乘法原理，可以拆成兩個步驟：1走到0, 0走到-1，兩步驟機率都是P0, 故P1=P02 
(3) 代回上式，解P0=31+32P02P0=21  (向右的機率比較大，故P0=1不合)
這題值得一提的是，若向右向左的機率依樣時，則不斷持續的擲下去，百分之百會跑到-1, 有點不太直觀。

(剛剛看到版主有在 #2 附上本題的相關文章，寫得比我清楚多了，大家也可以參考)

填充3： 041xdx 
填充4：跟103武陵高中第9題類似，作法差不多
填充5：生成函數或者重複組合
填充7：好像有公式，不太確定能不能用紅球與非紅球的觀念下去帶
填充10：不論是哪連續三列寫開，答案都是 1 / 2

計算11：
之前看過寸絲兄用過的神招，印象深刻，算是現學現賣XD
考慮拋物線 y2=8px, 過焦點2p0 與拋物線所截的所有線段中，以正焦弦所在直線x=2p所截的長度為最短。考慮線性映射xyx2y  ,將y座標壓(伸縮)為21倍，可得到拋物線y2=2px , 故過2p0 與此拋物線所截的所有線段中，亦以直線x=2p所截的長度為最短，證畢。

103.07.26 小弟這邊處理的不夠細膩，請在參閱寸絲兄在 #27 的補充說明。

計算15：
用Jacobian證：
考慮x=0y=0z=0x=d1y=d2z=d3 所圍區域體積為V=d1d2d3
考慮線性變換：
\displaystyle \left\{ \begin{align}   & x={{a}_{1}}x'+{{b}_{1}}y'+{{c}_{1}}z' \\ & y={{a}_{2}}x'+{{b}_{2}}y'+{{c}_{2}}z' \\ & z={{a}_{3}}x'+{{b}_{3}}y'+{{c}_{3}}z' \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{\partial \left( x,y,z \right)}{\partial \left( x',y',z' \right)}=\left| \begin{matrix}    {{a}_{1}} & {{b}_{1}} & {{c}_{1}}  \\    {{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}}  \\    {{a}_{3}} & {{b}_{3}} & {{c}_{3}}  \\ \end{matrix} \right|=\Delta
則 \displaystyle V'=\left| \frac{\partial \left( x',y',z' \right)}{\partial \left( x,y,z \right)} \right|V=\frac{V}{\Delta }, 得證
純幾何的方式可能等高手待補，這一塊小弟不是很擅長XD

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-7-26 08:10 PM 編輯 ]

第10題給你參考
假設第k列、第k+1列、第k+2列的一般項為{{a}_{i}},{{b}_{i}},{{c}_{i}} 則 \displaystyle \sum\limits_{i=0}^{k+1}{\frac{{{b}_{i}}}{{{c}_{i}}}}-\sum\limits_{i=0}^{k}{\frac{{{a}_{i}}}{{{b}_{i}}}}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}{\frac{C_{i}^{k+1}}{C_{i}^{k+2}}}-\sum\limits_{i=0}^{k}{\frac{C_{i}^{k}}{C_{i}^{k+1}}}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}{\left( 1-\frac{i}{k+2} \right)}-\sum\limits_{i=0}^{k}{\left( 1-\frac{i}{k+1} \right)}=\frac{1}{2}

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-12 09:38 AM 編輯 ]

第8題：
一開始我也想說用向量解~但這想法解到一半就有點複雜~
如圖觀察此圓為三角形CBZ的內切圓，令\overline{AD}=2r,\overline{CD}=\overline{CF}=x,\overline{BD}=\overline{BE}=y,\overline{ZE}=\overline{ZF}=z,
則由母子相似性質, {{\left( 2r \right)}^{2}}=xy, 再結合 {{r}^{2}}=\frac{xyz}{\left( x+y+z \right)}(由海龍公式推得),
可得知x+y=3z, 故 \overline{ZB}+\overline{ZC}=10\Rightarrow x+y+2z=10\Rightarrow z=2\Rightarrow x+y=6

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-13 08:56 PM 編輯 ]

其實我幾何這塊也不是很擅長
若是在考場~一定沒辦法在時間內想到
也是事後諸葛~看GGB看了很久才亂湊出XD

多謝提醒~這瓜現學現賣得還不夠XD這地方若寸絲兄沒提醒，小弟應該不太會注意到，小弟馬上來註解一下

話說寸絲兄客氣了XD~~想法真的非常細膩，再一次見識到了，真神人也~

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-7-29 03:05 PM 編輯 ]

應該不用硬解，解出此三點的關係為正三角形即可

\displaystyle x=\frac{\gamma }{2}\left( \frac{1\pm \sqrt{3}}{2} \right)=\frac{\gamma }{2}\left( \cos 60{}^\circ \pm i\sin 60{}^\circ  \right)\Rightarrow \left| x \right|=\left| \frac{\gamma }{2} \right|=\frac{5}{2}
將A,B兩點看成是\gamma 伸縮一半後旋轉正負60度
畫圖知三角形ABC會成正三角形，邊長為 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot 2=\frac{5\sqrt{3}}{2}
故所求為 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}{{\left( \frac{5\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=\frac{75\sqrt{3}}{16}

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-7-29 02:59 PM 編輯 ]

AB應該是C跟原點連線的中點所轉出來的點:）