填充7：
已知函數f(x)=cosx的圖像與直線y=kx(k0)恰有兩個交點，其中交點的橫坐標的最大值為，求sincos3−cos=　　　(以表示)。
[解答]
畫圖知交於兩點時剛好有相切之關係, 223cos  =−cos 
由切線斜率相等可推知−cos=ddx−cosxx==sintan=−1 
所求可化簡為1−2sin2=−4tana1+tan2=42+1

填充4：
若P(xy)與Q(mn)是關於直線y=2x−1對稱的兩點，將Q(mn)繞原點旋轉60，又得到R(XY)。假設將P變換到R可用矩陣XY=acbdxy+ 表示，則矩陣= 　　　。
[解答]
想法如下：
先考慮P到直線y=2x之對稱點P’(x',y'), 然後再經過平移到Q
畫圖可推知 Q=P+t2−1tR+  , 解 Q−P=−−PQ=t2−1=2d=25t=52   
其中 d 為 y=2x 與 y=2x-1 之距離, 所以我們得到關係式
  m    n  =  x    y  +  54    −52    , 再透過旋轉與線性關係，
        =  cos60    sin60  −sin60  cos60    54    5−2  =  52+3    523−1   
依樣錯誤或怪怪的地方再麻煩偵錯一下，感恩

計算2：
只由三個字母abc所組成長度為n的字串在通訊管道上傳輸，要求在傳輸中不可以有兩個a連續出現在任一字串中。令an是長度為n的字串時，傳輸中的字串個數，則：
(1)求a1、a2、a3之值。
(2)寫出an的遞迴式。
(3)求an的一般式。
[解答]
(1) a(1)=3 , a(2)=8, a(3) =22
(2)  考慮a(n)：
      若第一個字母為a, 則第2個字母為b或c, 方法數2*a(n-2)
      若第一個字母為b或c,  方法數2*a(n-1)
      故 a(n)=2( a(n-1) + a(n-2) )

計算3：
已知實係數多項式f(x)滿足f(x2)=f(x+1)f(x−1)，證明方程式f(x)=0無實根。
[解答]
反證法：
假設fx=0  存在實根a1, 不失一般性，令a10
則fa1+12=fa1+2fa1=0 , a1+12 亦為fx=0 的實根，令為a2
考慮ak=ak−1+12k2 , 則我們得到一個嚴格遞增的正實數數列an滿足
fak=0kN , 故此多項式方程式的根為無限個，矛盾。

計算4：
設a1，a2，是等差數列且a11，公差d0，證明：對所有自然數n，\displaystyle log_{a_n}a_{n+1}>log_{a_{n+1}}a_{n+2}。
[解答]
考慮函數f\left( x \right)=\frac{\log \left( x+d \right)}{\log x},x>1\Rightarrow f'\left( x \right)<0,\forall x>1, 故函數f在定義域為嚴格遞減，所以 {{a}_{n}}<{{a}_{n+1}}\Rightarrow f\left( {{a}_{n}} \right)>f\left( {{a}_{n+1}} \right), 所求得證。

計算5：
設P為\Delta ABC內部一點，且是\Delta ABC的外心，證明：sin 2A \vec{PA}+sin 2B \vec{PB}+sin 2C \vec{PC}=\vec{0}。
[解答]
外心在三角形內部，此三角形為銳角三角形，
因為三角形面積比為 PBC: PAC: PAB=\frac{1}{2}{{R}^{2}}\sin 2A:\frac{1}{2}{{R}^{2}}\sin 2B:\frac{1}{2}{{R}^{2}}\sin 2C=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C,
故所求得證。

觀念是將相加為0的三個向量看成是一個新的三角形的重心，再利用面積比等於邊長乘積比得到此性質，
找了一個範例給您參考一下

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