引用:

原帖由 阿光 於 2012-6-14 03:14 PM 發表
想請教填充5,謝謝

5.
如右圖表示電路，而每個開關可使電流暢通的機率為p，且彼此不互相影響，則電流由L到R暢通的機率為何？
[解答]
分成3號開關的開與否
可以分成附件的圖來討論
3號是通的，如上圖
p(1−(1−p)2)2
3號是不通的，如下圖
(1−p)(1−(1−p2)2)
加起來就是答案

6.
每個人都有兩隻手，在亂點鴛鴦譜的活動中，每隻手都有一個編號，隨機抽選 2 個號碼配對牽手，每人的一隻手都恰與另一隻手(可能是自己或他人的手)握住，相連在一起的人圍成一個圓圈。可能有：一人自成一圈，有 2 人牽成一圈，有 3 人牽成一圈，……。假設En代表n個人所結圓圈數的期望值，
(1)求E1的值。　(2)求第一次抽選的2個號碼是同一人之機率　(3)求En−En−1=？　(4)求E4的值。
[解答]
請參考許志農教授「戲說數學」
連結已失效h ttp://www.lungteng.com.tw/LungTengNet/HtmlMemberArea/publish/Math/017/01%E6%88%B2%E8%AA%AA%E6%95%B8%E5%AD%B8%E5%BA%8F.doc數學與猜想----數學期望值

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原帖由 matric0830 於 2012-6-14 05:23 PM 發表
請問第14題如何證明？

如果你手邊沒有高中課本可以翻閱
google會是你的好朋友

15.
設P(x1y1z1)、Q(x2y2z2)，若ax1+by1+cz1+d0且ax2+by2+cz2+d0，試證明P、Q兩點必在平面E：ax+by+cz+d=0之兩側。
[解答]
P、Q點到在平面E上投影點分別為P',Q'
向量PP=−aa2+b2+c2ax1+by1+cz1+d−ba2+b2+c2ax1+by1+cz1+d−ca2+b2+c2ax1+by1+cz1+d 
向量QQ=−aa2+b2+c2ax2+by2+cz2+d−ba2+b2+c2ax2+by2+cz2+d−ca2+b2+c2ax2+by2+cz2+d 
由題目所給條件可知，向量PP'=k倍的向量QQ'，其中k為負值，故兩向量為反向
即PQ異側

4.
將一個半徑為4公分的水晶球，放入一個邊長為8公分的正方體容器，想在容器的八個角落再塞入八個半徑相同的小水晶球，則小水晶球的最大半徑為多少公分？
[解答]
設小水晶球半徑r
立方體的斜對角線83  =42+2r3  +2r 
移項即可解出r
這題考出來算是秒殺題了
關鍵在斜對角線與內接球半徑的關係

110.2.28補充

更多類似問題https://math.pro/db/thread-1268-1-1.html

8.
設P在拋物線y=x2上，且在第一象限內的任意一點，如圖所示，直線PB與x軸平行，且交y軸於B點；直線PA是拋物線過P點的切線，且交y軸於A點。若拋物線、直線PB與y軸所圍的區域面積為R，\Delta PAB的面積為T，則比值\displaystyle \frac{R}{T}=？
[解答]
設切點P為(\sqrt t ,t)，可算出切線交y軸於A點(0, - t)
\Delta PAB = \frac{1}{2} \cdot 2t \cdot \sqrt t  = t\sqrt t
拋物線與y軸、\overline {PB} 所夾面積\int_0^{\sqrt t } {(t - {x^2})} dx = \frac{2}{3}t\sqrt t
故所求比值為\frac{2}{3}

10.
已知函數f(x)=2x^3+3ax^2+6a(a-1)x+2，(a\in R)，若f(x)的圖形與x軸相切，且在切點處f(x)有極小值，則a值為何？
[解答]
f'(x) = 6{x^2} + 6ax + 6(a - 1) = 0解得x =  - 1,1 - a
若1 - a >  - 1，即a < 2
f(1 - a) = 0解得a = 2 - \sqrt 3

若1 - a <  - 1，即a > 2
f(-1) = 0，此時a無解
故答案只有一個