103松山工農

有錯或其它解法還請不吝指教...我有2題不會,還請神人下凡指點迷津...   (第4,15題)

1.
f(xy)=3x+3y=3x+31−x23x31−x=23 


2.
sin+cos=−k0sincos=43 ⇒(sin+cos)2=1+2sincos(−k)2=1+243 ⇒k=23+1 (取負)


3.

法1：
AC為ABD分角線，且A=120故81+x1=61，即x=24

法2：
AC=8+x28xcos60=6⇒x=24


公式：ABC中，AB=c，AC=b，AD為∠BAC的角平分線，∠BAD=∠CAD=，則AD=2bcb+ccos。
證明：
設AD=x
ABC=BAD+CAD

21ABACsin∠BAC=21ABADsin∠BAD+21ACADsin∠CAD  

21bcsin2=21cxsin+21bxsin

bc2sincos=xsin(b+c)

2bccos=(b+c)x

x=2bcb+ccos


4.
logA=2+logB=2+3 ⇒3logA−logB=4⇒A3=B2454
令B=2252k3因為100B=2252k31000，所以1k310⇒k=2即 B=800 ， A=200


5.
a_5=C_5^5+C_5^6+\ldots+C_5^n=C_6^{n+1} ， a_4=C_4^4+C_4^5+\ldots+C_4^n=C_5^{n+1} ， a_3=C_3^3+C_3^4+\ldots+C_3^n=C_4^{n+1}
⇒ \displaystyle \frac{(n+1)!}{6!(n-5)!}=\frac{(n+1)!}{5!(n-4)!}+\frac{(n+1)!}{4!(n-3)!} ⇒ \displaystyle \frac{1}{6 \cdot 5}=\frac{1}{5 \cdot (n-4)}+\frac{1}{(n-3)(n-4)} ⇒ n=0 or 13


6.
\displaystyle \overrightarrow{AG}=\frac{1}{3} \overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3r}\overrightarrow{AP}+\frac{1}{3s}\overrightarrow{AQ} 　因為P,G,Q共線⇒ \displaystyle \frac{1}{3r}+\frac{1}{3s}=1
科西不等式 \displaystyle (9r+4s)(\frac{1}{3r}+\frac{1}{3s}) \ge ( \sqrt{3}+\frac{2}{\sqrt{3}})^2=\frac{25}{3}


7.

z^6-1=(z+1)(z^5-z^4+z^3-z^2+z-1)

求 \displaystyle =5 \times (正 \Delta)=5 \cdot ( \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2 )=\frac{5 \sqrt{3}}{4}


8.

由斜率可知 \overline{P_3 P_4}=10 ，求 \displaystyle S=\frac{a}{1-r}=\frac{(60+20)}{1-\frac{1}{6}}=96


10.
\displaystyle \matrix{捷　車　機 \cr \left[ \matrix{\frac{7}{10} & \frac{2}{10} & \frac{1}{10} \cr \frac{1}{10} & \frac{5}{10} & 0 \cr \frac{2}{10} & \frac{3}{10} & \frac{9}{10}} \right] } \cdot \left[ \matrix{x \cr y \cr z} \right]=\left[ \matrix{x \cr y \cr z} \right] ⇒ \displaystyle \cases{\frac{7}{10}x+\frac{2}{10}y+\frac{1}{10}z=x \cr \frac{1}{10}x+\frac{5}{10}y=y} ⇒ x:y:z=5:1:13 ⇒求 \displaystyle z=\frac{13}{5+1+13}=\frac{13}{19}


11.
易知拋物線過 A(5,5 \sqrt{3}) ， B(25,15 \sqrt{3})
令拋物線 \Gamma ： x=ay^2+k ⇒ \cases{5=75a+k \cr 25=675a+k} 解得 \displaystyle a=\frac{1}{30} ， \displaystyle k=-\frac{75}{30}
⇒拋物線 \Gamma ： \displaystyle x=\frac{1}{30}y^2-\frac{75}{30}


13.
(i)當 \displaystyle x=\frac{1}{2} ， a_2 x^2=a_1x ⇒ \displaystyle a_2 (\frac{1}{2}=a_1) ，所以 a_2=2
(ii)當 \displaystyle x=\frac{1}{3} ， a_3 x^3=a_2 x^2 ⇒ \displaystyle a_3 (\frac{1}{3})=a_2 ，所以 a_3=2 \cdot 3
(iii)當 \displaystyle x=\frac{1}{4} ， a_4 x^4=a_3 x^3 ⇒ a_4 (\frac{1}{4})=a_3 ，所以 a_4=2 \cdot 3 \cdot 4
類推可知 a_n=n!


14.
\displaystyle cos 60^{\circ}=\frac{(10-x)^2+x^2-6^2}{2 \cdot (10-x) \cdot x}=\frac{1}{2} ，可得 \displaystyle x=5 \pm \sqrt{\frac{11}{3}}
⇒ \displaystyle \Delta F_1 PF_2=\frac{1}{2}(5+\sqrt{\frac{11}{3}}) \cdot (5-\sqrt{\frac{11}{3}}) \cdot sin 60^{\circ}=\frac{16}{3} \sqrt{3}


16.

\displaystyle y=\sqrt{4-\frac{4}{9}x^2} 　⇒　 \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1
所求=直線 \displaystyle y=\frac{2}{3}x+2 與上橢圓 \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 所夾面積 \displaystyle =\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3=6












[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-8-2 08:58 AM 編輯 ]