第9題：
已知實係數三次函數f(x)=3ax3−bx2+(2−b)x+1，f(x)在x=x1處有極大值，在x=x2處有極小值，且0x11x22，則a+2b值的範圍為　　　。
[解答]
依題意，即 f(x)=ax2−2bx+(2−b)=0 之二根 x1, x2 滿足 0x11x22，且 a0

故須滿足 f(0)0, f(1)0, f(2)0 且 a0

由以上限制範圍作圖，利用線性規劃概念可得所求範圍！

第11題：
已知為y=ax3+bx(a0b0)，原點O為其反曲點，射線OA在第一象限交於A點。若P為曲線段OA上一點，且以P為切點的切線與OA平行，則APO的面積弓形APO的面積=　　　。
[解答]
暫時只想到暴力解，考場要這樣解應該會放棄...

設 f(x)=ax3+bx f(x)=3ax2+b

設切點 P(tat3+bt), t0，則 \overleftrightarrow{OA}:y=f'(t)x

求 \overleftrightarrow{OA} 與 \Gamma 交點即解方程式 f'(t)x-ax^3-bx=0    \Rightarrow x=\pm \sqrt{3}t,0

可得交點 A(\sqrt{3}t,3\sqrt{3}at^3+\sqrt{3}bt)

由 O,P,A 三點坐標及三角形的行列式面積公式可得三角形 OAP 面積為 \sqrt{3}at^4  (意外地不難算...)

而弓形面積 \displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}t}f'(t)x-ax^3-bx\ dx=\int_{0}^{\sqrt{3}t}-ax(x^2-3t^2)dx=\frac{9}{4}at^4

故得所求 \displaystyle =\frac{\frac{9}{4}at^4}{\sqrt{3}at^4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}

第3題：
已知數值資料\displaystyle \frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots,\frac{n}{n}，其中\displaystyle \frac{i}{n}有(2i+1)個，i=1,2,3,\ldots,n，n\in N。設此資料算術平均數為\mu，母體標準差為\sigma，求\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\mu^2+\sigma^2)=　　　。
[解答]
設隨機變數 \displaystyle X=\frac{i}{n}, i=1,2,\cdots, or\ n，滿足 \displaystyle P\Big(X=\frac{i}{n}\Big)=\frac{2i+1}{\sum_{i=1}^{n}(2i+1)}

由等式 E[X^2]=\sigma^2+\mu^2

可得 \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(\sigma^2+\mu^2)=\lim_{n\rightarrow\infty}E[X^2]=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{i=1}^{n}\Big(\frac{i}{n}\Big)^2(2i+1)}{\sum_{i=1}^{n}(2i+1)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\cdot\frac{\sum_{i=1}^{n}(2i^3+i^2)}{\sum_{i=1}^{n}(2i+1)}=\cdots=\frac{1}{2}

111.2.22補充
將 \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n}{n} 等n個數的算術平均數記為a_n，其標準差記為b_n，則\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=　　　，\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=　　　。
(81大學聯考試題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2441&page=1#pid14824)