101文華高中（含計算題）

計算第二題：(模仿100鳳山高中的類題的解法來寫如下~)

第 12 題：

已知 anf(0)=a0f(1)=an+an−1++a0 皆為奇數，

假設 f(x)=0 有有理根 pq，其中 pq 為互質的兩個非零整數，

f(pq)=0anpqn+an−1pqn−1++a1pq+a0=0 

anqn+an−1qn−1p++a1qpn−1+a0pn=0

case i: 若 p 為偶數，則因為 pq 互質，所以 q 為奇數，

　　anqn+an−1qn−1p++a1qpn−1+a0pnanqnan1nan(mod2)

　　且因為 anqn+an−1qn−1p++a1qpn−1+a0pn=0

　　an0(mod2) 此與 an 為奇數互相矛盾。

case ii: 若 q 為偶數，則因為 pq 互質，所以 p 為奇數，

　　anqn+an−1qn−1p++a1qpn−1+a0pna0pna01na0(mod2)

　　且因為 anqn+an−1qn−1p++a1qpn−1+a0pn=0

　　a00(mod2) 此與 a1 為奇數互相矛盾。

case iii: 若 pq 皆為奇數，則

　　anqn+an−1qn−1p++a1qpn−1+a0pnan1n+an−11n++a01nan+an−1++a0(mod2)

　　且因為 anqn+an−1qn−1p++a1qpn−1+a0pn=0

　　an+an−1++a00(mod2) 此與 an+an−1++a0 為奇數互相矛盾。

case iv: 若 pq 皆為偶數，此與 pq 互質相矛盾。

故，f(x)=0 無有理根。