綜合第 6 題
正方形\(ABCD\)的邊長為5，\(E\)為\(\overline{BC}\)上的點使得\(\overline{BE}=3\)，\(\overline{EC}=2\)。若\(P\)是對角線\(\overline{BD}\)上的點，當\(\overline{PE}+\overline{PC}\)有最小值時，此時\(\displaystyle \overline{PB}=\)　　　。
[解答]
因為 \(A,C\) 對稱於 \(\overline{BD}\)，所以 \(\overline{PC}=\overline{PA}\)

　　\(\overline{PE}+\overline{PC}=\overline{PE}+\overline{PA}\geq \overline{AE}\)

當 \(P\) 是「\(\overline{AE}\) 與 \(\overline{BD}\) 交點」時，\(\overline{PE}+\overline{PC}\) 會有最小值為 \(\overline{AE}\)



此時，令 \(\overline{PB}=x\)，則 \(\displaystyle d(P,\overline{AB})=d(P,\overline{BE})=\frac{x}{\sqrt{2}}\)

　　利用 \(\triangle PAB\)面積＋\(\triangle PBE\)面積＝\(\triangle ABE\)面積

　　可得 \(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 5\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3\)

　　\(\displaystyle\Rightarrow x=\frac{15\sqrt{2}}{8}\)

選擇第 3 題：
有一個以\(\overline{AB}=2\)為直徑的半圓，若\(P\)為圓周上的動點，如圖所示，試求\(3\overline{AP}+4\overline{BP}\)的最大值為
(A)\(5\)　(B)\(10\)　(C)\(5\sqrt{2}\)　(D)\(10\sqrt{2}\)
[解答]
由科西不等式，可得 \(\left(\overline{AP}^2+\overline{BP}^2\right)\left(3^2+4^2\right)\geq\left(3\overline{AP}+4\overline{BP}\right)^2\)

可得 \(3\overline{AP}+4\overline{BP}\leq\sqrt{\overline{AB}^2\cdot25}=10\)

另解：令 \(\angle PAB=\theta\)，則 \(3\overline{AP}+4\overline{BP}=3\left(2\cos\theta\right)+4\left(2\sin\theta\right)\)

　　　再疊合即可得最大值。


選擇第 4 題：
已知某三角形的二高分別為\(4\)與\(12\)，若第三高之長為\(h\)，則
(A)\(2<h<5\)　(B)\(3<h<5\)　(C)\(3<h<6\)　(D)\(4<h<8\)
[解答]
設三角形面積為 \(S\)，則此三角形的三邊長為 \(\displaystyle \frac{S}{4}, \frac{S}{12}, \frac{S}{h}\)

由三邊可以圍成三角形的條件：任兩邊之和大於第三邊，

可得 \(\displaystyle \frac{S}{4}+\frac{S}{12}>\frac{S}{h},\frac{S}{4}+\frac{S}{h}>\frac{S}{12}, \frac{S}{h}+\frac{S}{12}>\frac{S}{4}\)

即 \(\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{12}>\frac{1}{h},\frac{1}{4}+\frac{1}{h}>\frac{1}{12}, \frac{1}{h}+\frac{1}{12}>\frac{1}{4}\)

可得 \(3<h<6\)