填充第 21 題：

樓上沒有考慮到的點是~

因為 2x-1/2=[3x+1] 為整數

所以不是樓上範圍內的 x 都會滿足 2x-1/2 是整數。

解方程式\(\displaystyle [3x+1]=2x-\frac{1}{2}\)，\(x=\)　　　。(\([x]\)：表示不大於\(x\)的最大整數)
[解答]
因為 a-1<[a]<=a

3x < 2x-1/2 <= 3x+1

-3/2 <= x <-1/2

-7/2<=2x-1/2<=-3/2

因為 2x-1/2=[3x+1] 為整數

所以介在 -7/2 與 -3/2 之間的整數只有 -3, -2

2x-1/2 = -3, or -2

x=-5/4, or -3/4

沒想到居然以前有漏回復的，真是抱歉。

填充第 22 題：
正三角形\(ABC\)的邊長為1，在\(\overline{AB}\)、\(\overline{BC}\)、\(\overline{CA}\)上各取\(P\)、\(Q\)、\(R\)滿足\(\overline{AP}^2=\overline{BQ}^2=\overline{CR}\)。
(1)令\(\overline{AP}=x\)，求\(\triangle PQR\)的面積=　　　。(以\(x\)表示)
(2)若\(P\)在\(\overline{AB}\)上移動，\(\triangle PQR\)的最小面積為\(M\)，使得\(\triangle PQR\)的面積為最小時的\(x\)值為\(a\)；則\((M,a)=\)　　　。
[解答]
第1小題

ΔPRQ 面積 = ΔABC 面積 - ΔAPR 面積 - ΔBPQ 面積 - ΔCQR 面積

　　　　　＝ \(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot1\cdot1\sin60^\circ-\frac{1}{2}\cdot x\cdot\left(1-x^2\right)\sin60^\circ-\frac{1}{2}\cdot x\cdot\left(1-x\right)\sin60^\circ-\frac{1}{2}\cdot x^2\cdot\left(1-x\right)\sin60^\circ\)

　　　　　＝ \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\left(2x^3-2x+1\right)\)

第2小題

令 \(f(x)=2x^3-2x+1\)，則 \(\displaystyle f\,'(x)=0\Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)

因為 \(f(x)\) 為首項係數為正的三次多項式函數，

可知當 \(\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}}\) 時， \(f(x)\) 有最小值為 \(\displaystyle f(\frac{1}{\sqrt{3}})\)

即 ΔPRQ 面積有最小值為 \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot f(\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{3}\)

另解，

由算幾不等式 \(\displaystyle \frac{\displaystyle \left(1-x\right)+\frac{1+x}{2}+\frac{x}{2}}{3}\geq\sqrt[3]{\left(1-x\right)\cdot\frac{1+x}{2}\cdot\frac{x}{2}}\)

可得 \(\left(1-x\right)\left(1+x\right)x\) 之最大值，

進而得知 \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\left(2x^3-2x+1\right)\) 的最小值。

填充第 13 題：
若\(x,y,z\)為整數，\(0\le x\le 45\)，\(1\le y\le 47\)，\(2\le z\le 49\)，則滿足\(x+y+z=50\)的解\((x,y,z)\)共有　　　組。
[解答]
令 \(y\,'=y-1, z\,'=z-2\) 則

\(x+y\,'+z\,'=47\) 且 \(0\leq x\leq45, 0\leq y\,'\leq 46, 0\leq z\,'\leq 47\)

所求＝（47顆相同球任意分給 \(x,y\,',z\,'\) 三個箱子）- （\(x\) 爆掉） - （\(y\,'\) 爆掉）

［註：\(z\,'\) 肚量很大～可以獨自吃到 \(47\) 顆球沒問題，所以絕對不會爆掉。］

　　＝（47顆相同球任意分給 \(x,y\,',z\,'\) 三個箱子）- （\(x\) 因為吃了 \(46\) 顆以上的球，所以爆掉） - （\(y\,'\) 因為吃了 \(47\) 顆球所以爆掉）

　　＝ \(H_{47}^3 - H_1^3-1\)

　　＝\(1176-3-1=1172\)

填充題第 1 題：
已知\(a_1=1\)，\(\displaystyle a_{n+1}=3a_n+\frac{3^n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)，(\(n\in N\))；則\(a_n=\)　　　。
[解答]
當 \(n\in\mathbb{N}\) 時，

\(\displaystyle a_{n+1}=3a_n +\frac{3^n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{3^n}=\frac{a_n}{3^{n-1}}+\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

　　　\(\displaystyle =\frac{a_{n-1}}{3^{n-2}}+\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)+\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

　　　\(\displaystyle =\cdots\)

　　　\(\displaystyle =\frac{a_1}{3^0}+\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+\cdots+\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)+\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

　　　\(\displaystyle =1+\sqrt{n+1}-\sqrt{1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow a_{n+1}=3^n\cdot\sqrt{n+1}\)，其中 \(n\in\mathbb{N}\)

且因 \(a_1=1=3^0\cdot{1}\) 亦成立，可得

\(\Rightarrow a_n=3^{n-1}\cdot\sqrt{n}\)，其中 \(n\in\mathbb{N}\)