填充第 15 題： p 為不小於 3 的質數，則位於雙曲線 x2−y2=p2 上的格子點有多少個？

解答：

x+yx−y=p2 

若 xy 都為整數，則 x+y 與 x−y 亦都為整數。

x+y	1	p2	−1	−p2	p	−p
x−y	p2	1	−p2	−1	p	−p

因為上表中的數字都是奇數，所以


x=2x+y+x−yy=2x+y−x−y  皆為整數，


故，共有六組解。

第 1 題：

ABC 中﹐已知 AB=4﹐BC=5﹐CA=6，ABC 內部一點 P 到 ABBCCA 的距離分別為 h1﹐h2﹐h3，則 h21+h22+h23 的最小值為___________。


解答：

三角形面積＝214h1+215h2+216h4=24+5+624+5+6−424+5+6−524+5+6−6 

4h1+5h2+6h3=2157 

由柯西不等式，

　　　　42+52+62h21+h22+h234h1+5h2+6h32 

可得 h21+h22+h23 的最小值為 2157242+52+62=44225 .

112.6.8
若ABC中，AB=5、AC=6、BC=7，且P為三邊上或其內部的任一點，則點P到三頂點距平方和PA2+PB2+PC2有最小值時，PA2=　　　。
(112新竹女中代理，https://math.pro/db/thread-3756-1-1.html)



第 10 題：

已知 x+2y+3z=14x2+y2+z2=196，xyzR，求 z 之最大值為？

解答：

利用科西不等式

　　　　12+22x2+y2x+2y2 

可得

　　　　5196−z214−3z2 

　　　　z2−6z−560

　　　　\Rightarrow 3-\sqrt{65}\leq z\leq3+\sqrt{65}

故，z 的最大值為 3+\sqrt{65}.




第 14 題：

設 f(x)=x^2+ax+b，若f\left(f\left(x\right)\right)<f\left(x\right) 的解為 -2<x<-1 或 4<x<5，則序對\left(a, b\right)=？

解答：

　　f(f(x))-f(x)<0 \Leftrightarrow (x^2+a x+b)^2+a(x^2+a x+b)+b-(x^2+a x+b)<0

　　\Leftrightarrow x^4+2ax^3+\left(a^2+a-1+2b\right)x^2+\left(a^2-a+2ab\right)x+\left(ab+b^2\right)<0

同義於

　　\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)<0

　　\Leftrightarrow x^4-6x^3-5x^2+42x+40<0

兩者因為首項係數相同，所以比較係數可得

　　a=-3,\, b=-5.

引用:

原帖由 dream10 於 2010-5-5 09:44 PM 發表

我想要問計算第三題~~怎麼求平行六面體體積

謝謝 ...

剛剛去美夢成真論壇看，似乎有計算題的題目（http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1427）

將之抄錄如下：



1.求 xyz=360 有幾組整數解？（5分）




2.橢圓 \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 內接梯形 ABCD，已知 A(5,0)、B(-5,0) 且 \overline{AB}//\overline{CD}，

求梯形 ABCD 之最大面積為何？（10分）





3.空間中 \left\{\begin{array}{ccc}  0&\le& x+2y &\le& 4\\  -1&\le& x-3y+z &\le& 3\\ 1&\le& x+3y-2z&\le& 7 \\ \end{array}\right.所圍成的平行六面體體積是多少？（5分）

解答：

令 \left\{\begin{array}{ccc}u&=&x+2y\\ v&=&x-3y+z\\ w&=&x+3y-2z\end{array}\right.


且設　\displaystyle A=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    1 & 2 & 0  \\    1 & { - 3} & 1  \\    1 & 3 & -2  \\ \end{array}} \right]，則 \left[\begin{array}{c}u\\v\\w\end{array}\right]=A \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]



則 u,v,w 所圍的平行六面體體積＝\left|det(A)\right|\times x,y,z 所圍的平行六面體體積

　\Leftrightarrow 4\times 4\times 6 = 9\times\mbox{所求體積}

　\displaystyle \Leftrightarrow \mbox{所求體積} = \frac{32}{3}.

註：感謝 dream10 於後方回覆幫我抓出眼花的數字錯誤！已修正！感謝！　^___^

112.6.8
設空間中 P(x,y,z) 滿足不等式 \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{0 \le x+y \le 2 \cr 0 \le y+z \le 2 \cr 0 \le x+z \le 2} ，此P點之點集合形成一平行六面體，求此平行六面體體積為？
(102新化高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1710&page=1#pid9038)

空間中6個平面E_1：2x+y+z=0、E_2：2x+y+z=4、E_3：x+2y+z=0、E_4：x+2y+z=4、E_5：x+y+2z=0、E_6：x+y+2z=4所圍成的平行六面體體積為　　　。
(112新竹女中代理，https://math.pro/db/thread-3756-1-1.html)

引用:

原帖由 jisam 於 2010-5-24 12:42 PM 發表


請問如果(1,1,360) (1,360,1) (360,1,1)視為相同  
              （ 2,2,90）（2, 90,2）(90,2,2)視為相同
則會有幾組正整數解?  謝謝
答案是32種?
想到腦袋打結＠＠ ...

不考慮 x,y,z 的順序性的話，我也是算 32 種。

xyz=360=2^3\times3^2\times5=\left(2\times3\right)^2\times2\times5

case i: x,y,z 三同，無。

case ii: x,y,z 兩同一異，有 C^3_1 \left(1+1\right)\left(1+1\right)=12 種.

case ii: x,y,z 三異，有 H^3_3 H^3_2 H^3_1-12 = 168 種.

所以，如果不考慮 x,y,z 的順序性，有 \displaystyle\frac{12}{3}+\frac{168}{3!}=4+28=32 種.

我來一個另解好了，

填充第 4 題：\displaystyle\cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 30^\circ \cos 40^\circ \cos 50^\circ \cos 60^\circ \cos 70^\circ \cos 80^\circ=?

解答：

\displaystyle\cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 30^\circ \cos 40^\circ \cos 50^\circ \cos 60^\circ \cos 70^\circ \cos 80^\circ

\displaystyle= \Bigg(\cos\left(60^\circ-10^\circ\right)\cos 10^\circ \cos\left(60^\circ+10^\circ\right)\Bigg) \Bigg(\cos\left(60^\circ-20^\circ\right)\cos 20^\circ \cos\left(60^\circ+20^\circ\right)\Bigg) \cos 30^\circ \cos 60^\circ

\displaystyle=\left(\frac{1}{4}\cos30^\circ\right)\left(\frac{1}{4}\cos60^\circ\right)\cos 30^\circ \cos 60^\circ

\displaystyle= \frac{3}{256}.


註：感謝 Joy091 提醒我的數字打錯！

第 12 題：AAABBCCDEF共十個字母排成一列，同字母不相鄰的排列方法有____種。

前面 dream10 的回覆已經有寫了「12. 利用AAA不相鄰-AAA不相鄰BB相鄰-AAA不相鄰CC相鄰+AAA不相鄰BB相鄰CC相鄰」

解答：

　　　\displaystyle \frac{7!}{2!2!} \times C^8_3 - \frac{6!}{2!} \times C^7_3- \frac{6!}{2!} \times C^7_3 + 5!\times C^6_3 =47760.






第 13 題：由數字1000，1001，1002，、、、，一直寫到5678，問這些自然數中共有幾個數字含有“0”  ___________

解答：

以下的 @ 表示 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 之中的數字，Δ 表示 1,2,3,4,5,6,7,8,9  之中的數字，

則，形如　@@@０　的數字有 (567-99) 個

　　形如　@@０Δ 　的數字有 (56-9)\times 9 個

　　形如　@０Δ Δ 　的數字有 5\times 9\times 9 個

故共有， (567-99)+(56-9)\times 9 + 5\times 9\times 9=1296 個。

設某正四面體的邊長為 d，內部放入若干個大小相等的球，使得這些球排成的三角垛剛好會與各面相切，

假設最底層是每邊個數有 n 個球，且正四面體邊長為 d



先取此正四面體的四個角落與四個角落內切球的一部分，

拼成剛好只有一顆內切球的迷你正四面體，

設此迷你正四面體的邊長為 a，則可求得內切球的半徑為 \displaystyle r= a\times\frac{\sqrt{6}}{12}

亦即 a =  2 \sqrt{6}\times r

單看一個邊～把那迷你正四面體那一顆球剖半，然後中間插入 n-1 顆球（當然某一個要剖半、左右各放半個），

變回～內部是最底層每邊有 n 個球的狀態，則

此大正四面體邊長就是 a + 2r\times\left(n-1\right)，也就是邊長是 2 \sqrt{6} \times r + 2r\times\left(n-1\right)

故 \displaystyle d = 2\sqrt{6}\times r+2r\left(n-1\right)) \Rightarrow r= \frac{d}{2\sqrt{6}+2(n-1)}




註一：抱歉，目前還不太會用電腦畫立體圖，以上只用文字敘述立體的圖形，可能還是會讓人感覺真的很霧沙沙～～～～　　＝＝


另外，雙週一題也出過類似的考題：http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2009f/4ans.pdf

註二：感謝 bugmens 幫忙製作 gif 動畫如附檔。

因為矩陣乘法可以視同線性變換，

在矩陣（Ａ）乘法的線性變換下，變換前後的面積會差 det(A) 倍。

更多細節可見線代課本，或網路搜尋（例如：http://ccjou.twbbs.org/blog/?p=9728，或 http://goo.gl/Rpdz0）。

令 p=1+\cos a, q=1-\cos a，則上述提問相當於～～～

已知 p,q 為非負整數，且 p+q=2，試求證 \displaystyle\sqrt{p^3q}\leq\frac{3\sqrt{3}}{4}.

證明提示：由算幾不等式，可得 \displaystyle \frac{\frac{p}{3}+\frac{p}{3}+\frac{p}{3}+q}{4}\geq\sqrt[4]{\frac{p}{3}\cdot \frac{p}{3}\cdot \frac{p}{3}\cdot q}