第 13 題：
設f(x)為一最高次係數為1的四次多項式，下列那一組條件保證存在唯一的f(x)滿足該條件(可複選)：
(A)f(0)=0f(1)=1f(2)=2
(B)f(0)=0f(−1)=2f(1)=1f(−1)=−1
(C)f(x)=x2+x+1x0 
(D)f(n)=1n+1n=12345
(E)f(x)在x=12達到相同的極值0
[解答]
(A)　令 H(x)=f(x)−x ，則

　　因為 f(x) 為四次式，所以 H(x) 亦為四次式

　　因為 H(0)=H(1)=H(−1)=H(2)=H(−2)=0

　　由因式定理，可得 H(x) 有因式 x(x−1)(x+1)(x−2)(x+2)

　　顯然與 H(x) 為四次式相矛盾。

(B) 令 f(x)=x4+bx3+cx2+dx+e，

　　由 f(1)=0f(−1)=2f(1)=1f(−1)=−1，

　　可解得 b=21c=2−3d=2−3e=23

　　（如果不想解最後的聯立方程式，就檢查克拉馬公式的的 Δ 是否非零。）

(C) f(x)=x4+x2+1

(D) 四個未知數，卻有五個方程式，有可能會過猶不及，

　　前四個方程式解出來的，帶入第五個方程式卻矛盾，

　　是又不想真的去解那五個方程式，

　　所以以下就借用一下 iamcfg 在 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=960&page=1#pid2477 的方法，

　　

　　最後一個數不是 4!，很好～此四次方程式的首項係數不會是 1。

(E) 令 f(x)=x4+bx3+cx2+dx+e，

　　由 f(12)=0f(−12)=0f(12)=0f(−12)=0，

　　可解得 b=0c=−1d=0e=41

若 f(x)=anxn+an−1xn−1++a1x+a0，則

f(x+1)−f(x)=anx+1n+an−1x+1n−1++a1x+1+a0−anxn+an−1xn−1++a1x+a0 

　　　=anx+1n−xn+an−1x+1n−1−xn−1++a1x+1−x 

（請自行把 (x+1)n(x+1)n−1 用二項式定理展開）

　　　=annxn−1++an−1n−1xn−2+ 

　　　=nanxn−1+

可以發現 f(x+1)−f(x) 次方數會減一，且首項係數會多乘上 n（蝦咪～跟微分很像～嗯～）

所以，若 f(x) 是四次式，做了 4 階的差分之後，

會變成常數，且該常數是 f(x) 的首項係數乘上 4!。



相關係數那題可能要等待統計達人囉～：Ｐ

我是"覺得"

A > B≒D（ B 與 D 似是經 x,y 軸伸縮變換可互換）

且

C > B≒D

至於 A 與 C，

不知誰大...

難道要真找一堆數據來算看看？

等待統計達人囉～：Ｐ