填充第 10 題：
\(\displaystyle x^2-4x-32\sqrt{x-1}+76\)
\(\displaystyle = \left(x^2-8x+16\right)+4\left(x-1\right)-2\times2\sqrt{x-1}\times8+8^2\)
\(\displaystyle = \left(x-4\right)^2+\left(2\sqrt{x-1}-8\right)^2\)
令 \(\displaystyle P(x,2\sqrt{x-1})\)， \(A(4,8)\)，
則 \(\displaystyle x^2-4x-32\sqrt{x-1}+76=\overline{PA}^2\) 。
且 \(P\) 在滿足 \(\displaystyle y=2\sqrt{x-1}\) 且 \(x \geq1\) 的曲線上，
即 \(P\) 在滿足 \(\displaystyle y^2=4\left(x-1\right)\) 且 \(y\geq0, x \geq1\) 的曲線上，
即 \(P\) 在 \(\displaystyle y^2=4\left(x-1\right)\) 拋物線位於第一象限或正向 \(x\) 軸的曲線上，
因為拋物線 \(\displaystyle y^2=4\left(x-1\right)\) 的頂點為 \((1,0)\)，焦點 \(F(2,0)\)，準線為 \(y\) 軸，
所以 「\(P\) 點的 \(x\) 坐標」 =「\(P\) 點到準線 \(y\) 軸的距離」 =「\(P\) 點與焦點 \(F\) 的距離」 = \(\overline{PF}\)，
得 \(\displaystyle x\times \sqrt{x^2-4x-32\sqrt{x-1}+76} = \overline{PF}\times\overline{PA}\) 。
另一方面，
\(\displaystyle x^2-2x-2-16\sqrt{x-1} = \frac{1}{2}\left[x^2 + \left(x^2-4x-32\sqrt{x-1}+76\right)\right] - 40 = \frac{1}{2}\left(\overline{PF}^2+\overline{PA}^2\right) - 40\) 。
因此，
\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}\left(\overline{PF}^2+\overline{PA}^2\right)+40 +\overline{PF}\times\overline{PA} \)
\(\displaystyle = \frac{1}{2}\left(\overline{PF}+\overline{PA}\right)^2 - 40\) 。
當 \(A,P,F\) 三點共線且 \(P\) 在 \(A\) 與 \(F\) 之間時，可得 \(f(x)\) 的最小值為 \(\displaystyle \frac{1}{2}\overline{AF}^2 - 40 = -6\)，
此時，解 \(AF\) 直線方程式與拋物線 \(\displaystyle y^2=4\left(x-1\right)\) 於第一象限的交點之 \(x\) 坐標，可得使 \(f(x)\) 最小值發生時的 \(x\) 值。
