113中崙高中

第3題：

已知 xy 均為非負整數。若方程式 3x+2y=n 恰有 24 組解，則所有 n 的可能值的總和為________。

解：

因為方程式 3x+2y=n 有一組顯然的特殊解 (xy)=(n−n)，

所以有通解 (xy)=(n−2t−n+3t)，其中 t 為整數。

又 xy 均為非負整數，

所以 n−2t0 且 −n+3t0，

得 3nt2n 。

因此 區間 [3n2n]須包含 24 個整數 t，

（由於區間長度 2n−3n=6n ，

　所以心中想著大概是 236n25，

　不過邊界的 n 要小心逐一檢查比較安心！）

得 n=138140141142143145。

所有 n 的可能值的總和為 138+140+141+142+143+145=849。