113中崙高中

第3題：

已知 \(x, y\) 均為非負整數。若方程式 \(3x+2y=n\) 恰有 \(24\) 組解，則所有 \(n\) 的可能值的總和為________。

解：

因為方程式 \(3x+2y=n\) 有一組顯然的特殊解 \((x,y) = (n, -n)\)，

所以有通解 \((x,y) = (n - 2t, -n + 3t)\)，其中 \(t\) 為整數。

又 \(x, y\) 均為非負整數，

所以 \(n - 2t\geq 0\) 且 \(-n + 3t \geq 0\)，

得 \(\displaystyle \frac{n}{3}\leq t \leq \frac{n}{2}\) 。

因此 區間 \(\displaystyle [\frac{n}{3},\frac{n}{2}]\)須包含 \(24\) 個整數 \(t\)，

（由於區間長度 \(\displaystyle \frac{n}{2}-\frac{n}{3}= \frac{n}{6}\) ，

　所以心中想著大概是 \(23\leq\frac{n}{6}<25\)，

　不過邊界的 \(n\) 要小心逐一檢查比較安心！）

得 \(n = 138, 140, 141, 142, 143, 145\)。

所有 \(n\) 的可能值的總和為 \(138+140+141+142+143+145 = 849\)。