計算第二題，用數學歸納法的話，可以參考 thepiano 老師的解法

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2542#p6124

填充題第 3 題
log4(x+2y)+log4(x−2y)=1，求x−y的最小值為？
[解答]
(x+2y)(x−2y)=44x2−y2=1

且 x+2y0x−2y0

亦即 (xy) 為落在圖形中右葉的雙曲線上的點

因為所求 x−y 中，xy 變號後帶入結果不便，

且右葉圖形上下對稱，不失一般性可假設 x0y0

求雙曲線在第一象限的點帶入 x−y 後所得的最小值及為所求。

先找出 4x2−y2=1 的切線中斜率為 1 者為 y=1x412+(−1) 

因此，右葉雙曲線中斜率為 1 者為 y=x−3x−y=3 

與右葉雙曲線有交點且斜率為 1 的直線 x−y=k 中，

當 k 有最小值時，即為直線在最左邊者，

此即為 x−y=3 

因此，3  即為所求。

填充題第 5 題
一圓x2+y2+kx+2y+k2=0，P(12)可對圓作兩條切線，則k的範圍為？
[解答]
自 P 對圓可做兩條切線，

此同義於「P位在圓的外部」

因此將 P 點帶入圓方程式，需改成＞０

再解 k 的範圍即可。

填充題第 9 題：
有20節車廂，其中5節有廁所，規定每個廁所之間至少要間隔2個車廂，則車廂有幾種排列方法？
[解答]
五間廁所，如下所列：

　　　廁　廁　廁　廁　廁

每個廁所間至少要放兩個無廁車廂～

　　　廁　無無　廁　無無　廁　無無　廁　無無　廁

因此，還剩下 15−8=7 個無廁車廂要放入由５個隔板（啊～是廁所～：Ｐ）所隔成的六個區域中，

共有 H76=792 種方法。



註：感謝 wooden 於後方回覆提醒小弟的計算錯誤，現已修正。哈。

第 1 題
x、y、z為正實數，則xy+2yzx2+y2+z2的最大值為？
[解答]
等號成立的條件：

當解答中的兩個算幾不等式成立時，

x=y52y5=z

x:y:z=1:5:2 

令 x=ty=5tz=2t  ，其中 t 為非零實數，

則解答中的兩個算幾不等式都會成立。

是的。(對於不等式的等號，這題也只需要"存在性"，至少有一組解會滿足等號就可以了。)

漏寫一點：還有要檢查那個方程式是圓。

帶進去恆正沒關係，那就是 k\in\mathbb{R} 而已。