第 12 題：已知兩複數 z1 與 z2 滿足 z1−(3+3i)=2，iz2−1=1，則 z1−z2 的最大值為__________。

解答：

z1−(3+3i)=2

z1 在複數平面上表示「以 3+3i 為圓心、2為半徑的圓周上之點」

iz2−1=1iiz2−1=1

　　iz2−1=1  z2+i=1

z2 在複數平面上表示「以 0−i 為圓心、1為半徑的圓周上之點」

所以，z1−z2 的最大值為 1+(3+3i)−(0−i)+2=8。

第 13 題：設 R，則函數 f()=5sin4cos+5 之最大值為__________。

解答：

令 k=5sin4cos+5，則 5sin−4kcos=5k。

因為 5sin−4kcos52+(−4k)2 ，（註：如果有人想要慢慢疊合也可以啦～＝＝）

所以 5k52+(−4k)2k2925k35 

可得所求之最大值為 35。








另解，

5sin4cos+5=45sincos−(−45)

其中 sincos−(−45) 表示「以原點為圓心的單位圓上的動點 (cossin)與定點 (−450) 所連直線之斜率」，

　　　

畫圖可得此斜率範圍： −34sincos−(−45)34，

所以 5sin4cos+5=45sincos−(−45)4534=35，

亦即，所求函數之最大值為 35。

選擇第 1 題：
已知空間中三直線L1：2x−1=3y−2=4z−3，L_2：\displaystyle \frac{x-2}{-2}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z}{1}，L_3：\displaystyle \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{3}，下列何者可能為此三直線投影到xy平面的圖形？

分析：空間中，一點 P(x_0,y_0,z_0) 滿足關係式 \displaystyle \frac{x_0-x_1}{a}=\frac{y_0-y_1}{b}=\frac{z_0-z_1}{c}

　　　則 P 投影到 xy 平面之後，投影點為 Q(x_0,y_0,0)，

　　　　　當然 x_0, y_0 還是滿足關係式 \displaystyle \frac{x_0-x_1}{a}=\frac{y_0-y_1}{b}

解答：

畫出 xy 平面上的三條直線 \displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}, \frac{x-2}{-2}=\frac{y-4}{-3},\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1} 即可得所求圖形。

前兩條互相平行，第三條不與前兩條平行。



選擇第 6 題的第五個選項：
三次函數\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-x之圖形為曲線\Gamma，由點\displaystyle A(2,-\frac{2}{3})作曲線\Gamma的切線，則下列敘述何者為真？
(1)其中有一切線的切點其x座標為1
(2)由點A可作三相異切線
(3)其中有一切線的斜率是0
(4)所有切線的斜率和為6
(5)其中有一切線與曲線\Gamma有2個相異交點

圖形如下圖，

　　　　

qq.png (29.31 KB)

2012-2-4 10:18

畫的清楚的話應該就可以看出答案了，

也可以麻煩一點～解切點、切線、再與 \displaystyle y=\frac{1}{3}x^3-x 解交點。＝＝



選擇第 8 題：
已知方程組(A)：\cases{a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \cr a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \cr a_3x+b_3y+c_3z=d_3}及方程組(B)：\cases{a_1x+b_1y+c_1z=0\cr a_2x+b_2y+c_2z=0\cr a_3x+b_3y+c_3z=0}，
設(1,2,3)及(10,-1,9)均為方程組(A)的解，則下列敘述何者為真？
(1)方程組(A)的幾何意義為三平面交於一直線
(2)方程組(B)恰有一組解(0,0,0)
(3)方程組(B)有無限多組解
(4)(300,-100,200)為方程組(B)的一組解
(5)(1,2,3)為方程組(B)的一組解
[解答]
令 P(1,2,3), Q(10,-1,9)，則

選項（1）：方程組（A）可能為直線 PQ 或包含直線 PQ 的某一個平面。

選項（2）：方程組（B）可能為通過原點且平行於直線 PQ的直線，

　　　　　　　　　　　或通過原點且平行於直線PQ的平面。

　　　　　　　　　　　亦即，方程組（B）有無限多組解且通過 (0,0,0)。

選項（3）：承選項（2），正確。

選項（4）：承選項（2），方程組（B）的圖形至少包含直線 \displaystyle \frac{x-0}{9}=\frac{y-0}{-3}=\frac{z-0}{6}

　　　　　　且點 (300,-100,200) 在上述直線上，故 (300,-100,200) 為方程組（B）的一組解。

選項（5）：承選項（3），直線 \displaystyle \frac{x-0}{9}=\frac{y-0}{-3}=\frac{z-0}{6} 並不包含點 (1,2,3)

　　　　　　因此無法保證方程組（B）（其圖形可能為直線或平面）有解 (1,2,3)。



填充第 18 題：
已知x\ge 0，y\ge 0，z\ge 0且2x+y+z=4，若x+3y\le5，則x+y的最大值為　　　。
[解答]
z=4-2x-y\geq 0

線性規劃，先畫出可行解區域 \displaystyle \left\{\begin{array}{c}x\geq0,\\ y\geq0,\\ x+3y\leq 5, \\ 4-2x-y\geq0\end{array}\right.

　　

qq2.png (29.54 KB)

2012-2-4 10:45

再找出可行解區域的頂點，然後帶入限制條件 x+y，然後找出最大值。



填充第 14 題：
在\Delta ABC中三內角為∠A、∠B、∠C，已知4sinB+3cosC=1、3sinC+4cosB=6，則∠A的度數為　　　。
[解答]
4\sin B+3\cos C=1、3\sin C+4\cos B=6 兩式平方後相加，

可得 \displaystyle \sin(B+C)=\frac{1}{2}\Rightarrow B+C=30^\circ 或 150^\circ


若 B+C=30^\circ，則 0^\circ<B<30^\circ 且 0^\circ<C<30^\circ

　　\displaystyle \Rightarrow 0<\sin B< \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}< \cos C< 1

　　\displaystyle \Rightarrow 4\sin B+3\cos C>4\times 0 + 3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}

　　此與 4\sin B+3\cos C=1 相矛盾，不合。

B+C=150^\circ\Rightarrow A=30^\circ

第 15 題：
有甲、乙、丙等14人出遊，欲住進兩間4人房、兩間3人房，問甲乙丙三人同房的機率為　　　。
[解答]
房間是相異沒錯。

分母＝\displaystyle \frac{14!}{4!4!3!3!}

分子＝\displaystyle 2\cdot\frac{11!}{1!4!3!3!}+2\cdot\frac{11!}{4!4!3!}

所求機率＝上面兩者相除＝\displaystyle \frac{5}{182}.

ps.  此題相同人數的房間算相同房或相異房，都不會影響機率，

　　因為如果以先分堆再入住來算，

　　房間相異只是讓分子與分母都同時多乘上＂分堆完之後，各堆對應到四個相異房＂（×4）的情況，

　　分子與分母同時約分約掉（÷4）之後，答案不變。