計算第 2 題的(2)

因為 an=n−nn+1−n+1=1−n−n，注意其中 01limnn=0 

所以 limnan=

註：感謝 nathan 於後方回覆中提醒小弟的加減號有錯！已修正。^___^


計算第 3 題
設正三角形邊長為1，試證：由此正三角形內部任取5點，至少有兩點的距離小於或等於21。
[解答]
取三角形三邊中點，並將之連接，

可以將題目所給之三角形分成四個小三角形區域，

則在大三角形內部任取五點時，必至少有兩點落在同一個小三角形的區域內，

因為小三角形內任兩點最遠距離不超過 21（即小三角形的邊長），

所以在大三角形內部任取的五點中，

至少有兩點的距離不超過 21。




計算第 4 題
已知對於所有的t0，曲線y=f(x)與x軸，y軸及直線x=t所圍成區域繞x軸旋轉所得之立體體積為t3+3t，試求(x)。
[解答]
0tf(x)2dx=t3+3t 


ddt0tf(x)2dx=ddtt3+3t 


f(t)2=3t2+3 


f(t)=3t2+3 


f(x)=3x2+3 

可以參考李吉彬老師這篇對於遞迴數列的介紹 h ttp://cplee8tcfsh.googlepages.com/recursive.pdf(連結已失效)

見其中之【貳、二階遞迴數列】。

看完之後，再回頭來看這一段：

因為 pn=(+)pn−1−pn−2 的特徵方程式

為 x2=(+)x−(x−)(x−)=0

其兩根為 ，

所以，可以令此遞迴數列的一般項為 pn=c1n+c2n，

再帶入題目有給的 p1 與可以容易算出的 p2，

解聯立方程式，可得 c1c2。

選擇第 8 題：
已知三次函數 y=x3+ax2+bx+c 之圖形與拋物線 y=x2 之圖形交於相異三點 P(−1y1)、Q(21y2)、R(x3y3)，且 PQ 垂直 \displaystyle \overline{QR}，則 \displaystyle a + b + c =______。


解答：

\displaystyle P,Q 兩點在 \displaystyle y=x^2 直線上，帶入可得 \displaystyle y_1=1,y_2=\frac{1}{4}，

再來找 R(x_3,x_3^2)，

因為 \displaystyle \overline{QR} 與 \displaystyle \overline{PQ} 垂直，所以斜率相乘等於 \displaystyle -1，

從而解出 \displaystyle R(\frac{3}{2},\frac{9}{4})，

將 \displaystyle P,Q,R 三點帶入 \displaystyle y=x^3+ax^2+bx+c，

可解得 \displaystyle a=0,b=-\frac{5}{4},c=\frac{3}{4}

其實在 iamcfg 前面的回覆中就已經有寫解答了『7. 題目已經偷偷告訴你  u,v,w所圍成體積=6了  後面的體積會= 行列式值*6』


選擇題第 7 題：
設 \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} 是空間向量且 \vec{u}\cdot \left(\vec{v}\times\vec{w}\right)=6，則三向量 2\vec{v}+\vec{w}, 3\vec{u}-\vec{v}+2\vec{w}, 4\vec{u}+\vec{w} 所張開的立體體積為？


解答：

\displaystyle | \det(\left[\begin{array}{ccc}2\vec{v}+\vec{w}\\ 3\vec{u}-\vec{v}+2\vec{w}\\ 4\vec{u}+\vec{w}\end{array}\right] )|


\displaystyle =| \det(\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 1\\ 3 & -1 & 2\\ 4 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\vec{u}\\ \vec{v}\\ \vec{w}\end{array}\right] ) |

\displaystyle =| \det(\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 1\\ 3 & -1 & 2\\ 4 & 0 & 1\end{array}\right] ) \cdot \det(\left[\begin{array}{ccc}\vec{u}\\ \vec{v}\\ \vec{w}\end{array}\right] ) |


\displaystyle =| \det(\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 1\\ 3 & -1 & 2\\ 4 & 0 & 1\end{array}\right] ) | \cdot | \det(\left[\begin{array}{ccc}\vec{u}\\ \vec{v}\\ \vec{w}\end{array}\right] ) |

\displaystyle=14\cdot\left|\vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right)\right|

\displaystyle=14\cdot 6

\displaystyle=84

計算證明題：

第 2 題，第 1 小題：（以數學歸納法證明之）

1. 當 n=1 時，右式\displaystyle=\frac{\alpha^2-\beta^2}{\alpha-\beta}=\alpha+\beta=a_1=左式。

2. 假設當 n=k 時，欲求證之式成立，亦即假設 \displaystyle a_k=\frac{\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}}{\alpha^k-\beta^k}，

　　則當 n=k+1 時，右式\displaystyle=\frac{\alpha^{k+2}-\beta^{k+2}}{\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}}

　　　　　　　　　　　　　 \displaystyle=\frac{\left(\alpha+\beta\right)\left(\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}\right)-\alpha\beta\left(\alpha^k-\beta^k\right)}{\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}}

　　　　　　　　　　　　　 \displaystyle=\alpha+\beta-\frac{\alpha\beta}{\displaystyle\left(\frac{\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}}{\alpha^k-\beta^k}\right)}

　　　　　　　　　　　　　 \displaystyle=\alpha+\beta-\frac{\alpha\beta}{a_k}

　　　　　　　　　　　　　=a_{k+1}=左式

由 1. 2. 及數學歸納法原理，可知所求證之式，對於任意自然數 n 恆成立。