第 6 題

求兩橢圓 x216+9y2=1 與 9x2+y216=1 所圍區域的公共部份繞 x 軸旋轉一周所得體積為？


解答：

先求 x216+9y2=19x2+y216=1 在第一象限的交點

（根據對稱的特性，也就是抓其中一個橢圓跟 x=y 直線在第一象限的交點），

解得交點為 512512 

所求體積為 2051291−x216dx+5123161−9x2dx=5208 

引用:

原帖由 may 於 2010-6-21 10:29 PM 發表
想請教第18題，感謝。

第 18 題：

題目：求 limn12+22++n25+25++n513+23++n314+24++n4  之值。


解答：

1+2++n=21n2+O(n)

12+22++n2=31n3+O(n2)

13+23++n3=41n4+O(n3)

14+24++n4=51n5+O(n4)

15+25++n5=61n6+O(n5)




所求 =limn4n45n5+O(n7)3n36n6+O(n7)=910

第 3 題：

解答：

令ACB= 

則 ABC=60− 

由正弦定理，可得

　　　　ABsin=ACsin60−=21 

所以，2AB+3AC=4sin+6sin60− 

　　　　　　=4sin+6sin60cos−cos60sin 

　　　　　　=sin+33cos 

　　　　　　12+332 

　　　　　　=27 

故，所求最大值為 27 




ps. 如果想要知道當最大值發生時 AB  AC 各別為多少的話，

　　解題時可以改以疊合處理。

第 4 題：

由面積公式，可得 21bcsin60=3bc=4 

由餘弦定理，可得

　　　a2=b2+c2−2bccos60

　　　　=b2+c2−4

　　　　2b2c2−4 

　　　　=4

　　　a2（且當等號成立時，若且唯若 b=c）

所以，

　　　a+b+ca+2bc=2+24=6 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（且當等號成立時，若且唯若 a=2 且 b=c）

故，a+b+c 的最小值為 6。（且此時 a=b=c=2）

引用:

原帖由 mandy 於 2011-5-20 05:59 PM 發表
請問第七題的  △ABQ=(1+t)/(1+t+t^2)△ABD ,如何求的?

由孟氏定理（Menelaus' theorem），可知 \displaystyle \frac{AE}{EC}\cdot\frac{CB}{BD}\cdot\frac{DQ}{QA}=1，可得 AQ : QD

進一步得 AQ : AD，此即為 \triangle ABQ : \triangle ABD.


註：感謝 whymath 提醒我的小錯誤，已修正！^__^

第 10 題：


設由死亡到凌晨六點半恰經過 t 小時，則


\displaystyle 13 = 10 + 27\left(\frac{1}{2}\right)^{kt} 且 \displaystyle 11 = 10 + 27\left(\frac{1}{2}\right)^{k(t+1)}


\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{kt} = \frac{1}{9} 且 \displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{k(t+1)}=\frac{1}{27}


兩式相除，可得 \displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1}{3}


\Rightarrow t=2

故，死亡時間應為凌晨四點半。

第12,13,14(2),15,19題： http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1531

可以找尋的地方有：這裡、美夢成真、PTT 數學版、google ...... ^__^

沒有第 22 題，我想你要問的應該是第 20 題（第 22 格）吧？

第 20 題 thepiano 老師解過了，

可見 http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=10#p4039

填充第 2 題：

可以參考 八神庵跟 thepiano 老師的解：

http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=20#p4058

另，小弟的解法是：\displaystyle\frac{8}{8}\cdot\frac{4}{7}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{28}.

說明：A 可以任選，D 需由剩下的七個位置選到與 A 不同分支的四個之一，剩下就是兩人必須各勝兩次。

真是漂亮的連分數。

qq.gif (13.52 KB)

2013-9-30 12:22