部分題目僅憑印象重新敘述，

故與原始題目僅題意相同、但敘述不同。

如有記錯或疏漏，還請不吝告知。

5/10, 00:43 AM 新增計算題一題。

感謝 Kapa 老師提醒數據的錯誤，已修正！^__^

感謝 oscar 提醒數據錯誤，已修正！ ^__^

感謝 ptt 網友 moun9 提醒填充第一題敘述有漏，已修正！感謝。 ^__^

感謝 八神庵 提醒打字疏漏的地方！！ ^__^

計算題，第 1 題

題目：

設 ab 為實數，且 x2−ax+b=0 之兩根為 x1x2，且 −1x111x22
　　（ａ） 設滿足上述條件之 ab  所在之區域為 I，在坐標平面上畫出 I 的圖形.
　　（ｂ）設 u=x−3y，其中 xyI，求 u 之最大值與最小值.


解答：

（ａ）

依題意，可得

　　判別式=a2−4b00a=x1+x23−2b=x1x22

且若令 f(x)=x2−ax+b ，則 y=f(x) 為開口向上拋物線

且 y=f(x) 與 x 軸的兩交點分別落在 x 軸上的 [−11] 與 [12] 兩區間內各有一個，

f(−1)f(1)f(2)===1+a+b01−a+b04−2a+b0

以 a 為橫軸、b 為縱軸，畫出圖形所圍區域 ABC 即為 I

qq.png (30.56 KB)

2012-5-16 21:23

（ｂ）線性規劃，用頂點法將 ABC 的三頂點帶入，可得 u 的最大值與最小值。


註：感謝 Ellipse 於後方回覆中提醒繪圖中某直線位置錯誤，已修正！

第五題

過 00  恰有三相異直線與 y=x3+ax2+1 相切，則 a 之範圍為？



解答：

令 f(x)=x3+ax2+1，則

f(x)=3x2+2ax 且 f(x)=6x+2a

y=f(x) 有水平切線的兩個點為 (0,1) 及 \displaystyle\left(\frac{-2a}{3},f\left(\frac{-2a}{3}\right)\right)

反曲點為 \displaystyle\left(\frac{-a}{3},f\left(\frac{-a}{3}\right)\right)

case i: 當 a\leq0 時，

　　　至多只有一條 y=f(x) 的切線會通過原點.

case ii: 當 a>0 時，

　　　通過反曲點的切線必須要在原點的下方，才會使得 y=f(x) 有三條切線通過原點.

　　　所以，\displaystyle y-f\left(\frac{-a}{3}\right)=f'\left(\frac{-a}{3}\right)\left(x-\frac{-a}{3}\right) 在原點的下方，

　　　\displaystyle\Rightarrow -f\left(\frac{-a}{3}\right)>f'\left(\frac{-a}{3}\right)\cdot\left(\frac{a}{3}\right)

　　　\Rightarrow a>3.

由上二者，可得 a>3.



以上想法如有疏漏，煩請不吝指教，感激。

填充第 3 題

題目：

已知 z_1,z_2 是複數，且 z_1+z_2=-\cos\theta, z_1^2+z_2^2=3-2\csc^2\theta-\sin^2\theta，其中 45^\circ\leq\theta\leq60^\circ，若 \left|z_1\right| 的最大值為 M，最小值為 m，則數對 \left(M,m\right)=?

解答：

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc}z_1+z_2&=&-\cos\theta\mbox{...（1）}\\ z_1^2+z_2^2&=&3-2\csc^2\theta-\sin^2\theta\mbox{...（2）}\end{array}\right.

將（1）平方之後與（2）相減，可得 z_1z_2=\cot^2\theta.

所以，z_1 與 z_2 為實係數一元二次方程式 z^2+\cos\theta z+\cot^2\theta=0 的兩根，

因為其判別式=\cos^2\theta-4\cot^2\theta=\left(\cos^2\theta-\cot^2\theta\right)-3\cot^2\theta<0,\;\;\forall 45^\circ\leq\theta\leq60^\circ.

所以，z_1 與 z_2 為共軛複數，

因此 \left|z_1\right|^2=z_1\cdot z_2=\cot^2\theta

　\Rightarrow \cot^2 60^\circ\leq\left|z_1\right|^2\leq \cot^2 45^\circ

　\displaystyle\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}\leq\left|z_1\right|\leq1.


以上想法如有疏漏，煩請不吝指教，感激。




註：感謝 Ellipse 提醒小弟數字上的錯誤！感謝～ ^__^

填充第 1 題

設 ABCD 為正四面體，\triangle ABC 內部有一點 E，點 E 到 \triangle DAB, \triangle DBC, \triangle DCA 距離之和為 m，

點 E 到 \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA} 距離之和為 M，求 \displaystyle\frac{m}{M}.



解答：

設此正四面體任兩面夾角為 \theta，則　\displaystyle\cos\theta=\frac{1}{3}　且


\displaystyle\frac{\mbox{「E 到 ΔDAB 的距離」}}{\mbox{「E 到 AB稜線的距離」}}

　\displaystyle=\frac{\mbox{「E 到 ΔDBC 的距離」}}{\mbox{「E 到 BC稜線的距離」}}

　\displaystyle=\frac{\mbox{「E 到 ΔDCA 的距離」}}{\mbox{「E 到 CA稜線的距離」}}

　=\sin\theta

　\displaystyle=\frac{2\sqrt{2}}{3},



再用和比性質，可得所求亦為  \displaystyle\sin\theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}.

計算題第 4 題：見 thepiano 老師回覆 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1437 當中的第二題即是。


計算題第 5 題：

我的轉移矩陣是 \displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}\displaystyle \frac{1}{3}&\frac{1}{3}&0\\ \frac{2}{3}&\frac{1}{2}&1\\ 0&\frac{1}{6}&0\end{array}\right]

其中上方的三的狀態分別是甲有 50+50元、100+50元、100+100元，

轉移後的左方三的狀態分別是甲有 50+50元、100+50元、100+100元。

而初始矩陣 \displaystyle X_0=\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]

因為 \displaystyle A^3X_0=\left[\begin{array}{c}\displaystyle \frac{11}{36}\\ \frac{127}{216}\\ \frac{23}{216}\end{array}\right]

所以，第三局結束時，甲袋中有 150 元的機率為 \displaystyle \frac{127}{216}.

第三局結束時，甲袋中金額的期望值為 \displaystyle 100\times \frac{11}{36}+150\times\frac{127}{216}+200\times\frac{23}{216}=\frac{15125}{108}.

第三局結束時，乙袋中金額的期望值為 \displaystyle 100+100+50+50+50-\frac{15125}{108}=\frac{22675}{108}.

長期而言，設達穩定狀態的矩陣為 \displaystyle P=\left[\begin{array}{c}x\\y\\1-x-y\end{array}\right]，

由 AP=P，可解得 \displaystyle x=\frac{3}{10}, y=\frac{3}{5}，

所以，長期而言，甲袋中金額的期望值為 \displaystyle 100\times \frac{3}{10}+150\times\frac{3}{5}+200\times\left(1-\frac{3}{10}-\frac{3}{5}\right)=140<150.





計算題第 6 題. (c) 區間長度＝\displaystyle 4\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{n}}=4\sqrt{\frac{-\left(\hat{p}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}{n}}\leq 2\sqrt{\frac{1}{n}}，
所以只要取 \displaystyle 2\sqrt{\frac{1}{n}}=e\Leftrightarrow n=\frac{4}{e^2}，即可保證區間長度絕對不會超過 e.

(1)

如圖，

qq.png (18 KB)

2012-4-11 23:45

\displaystyle \frac{\tan\displaystyle \frac{\alpha}{2}}{\tan\displaystyle \frac{\beta}{2} }=\frac{\tan ∠IF_1D}{\tan ∠IF_2D}

　　\displaystyle =\frac{\displaystyle \frac{ID}{F_1D}}{\displaystyle \frac{ID}{F_2D}}

　　\displaystyle =\frac{F_2D}{F_1D}

　　\displaystyle =\frac{\displaystyle \frac{F_1F_2+PF_2-PF_1}{2}}{\displaystyle \frac{F_1F_2+PF_1-PF_2}{2}}

　　\displaystyle =\frac{\displaystyle \frac{2c-2a}{2}}{\displaystyle \frac{2c+2a}{2}}

　　\displaystyle =\frac{c-a}{c+a}.

(2)

若 P 在右葉，可解出來 I 點滿足 x=a，且後方繼續推論得到 -b<y<b，

同理若 P 在左葉，可解出來 I 點滿足 x=-a 且 -b<y<b。

故，內心的軌跡是兩平行線段。

題目有說 E 在 \triangle ABC 內部，可知 E 與 \triangle ABC 共平面。

引用:

原帖由 kittyyaya 於 2010-10-25 01:34 AM 發表
對不起,想請問weiye老師,最近再重看第18篇的內文,有一段想不通,就是"F2D=F1F2+PF2-PF1"和"F1D=F1F2+PF1-PF2",為何相等呢?我去畫圖還是看不出來,可否麻煩weiye老師再另外說明,先謝謝 ...

\displaystyle F_1F_2+PF_2-PF_1=\left(F_1D+DF_2\right)+\left(PE+EF_2\right)-\left(F_1F+PF\right)

\displaystyle =\left(F_1D-F_1F\right)+\left(PE-PF\right)+DF_2+EF_2=DF_2+EF_2=2DF_2.


\displaystyle \Rightarrow DF_2=\frac{F_1F_2+PF_2-PF_1}{2}.

另一式同理。

:-)

填充第 6 題：有 8 位女生與 25 位男生圍成一圓圈，在任 2 位女生中間至少有 2 位男生，其排列方法數為 \displaystyle\frac{a!b!}{c!} 種 (a\leq b)，則有序數組 \left(a,b,c\right)=？

解答：

先將 8 位女生作環狀排列，方法數為 \displaystyle\frac{8!}{8}=7!，

然後再來考慮男生的分布情形，

先把男生都當作是相同球，在每位女生中間至少要放兩顆相同球，剩下 25-8\times2=9 個相同球，

把這剩下的相同球安排進去女生間的空隙，有 \displaystyle H_9^8 種方法，

最後在把男生安排到這些相同球所在的位置中，有 25! 種方法。

以上三個步驟搭配起來，總共有 \displaystyle7!\times H_9^8\times 25!=7!\times C_9^{16}\times 25!=7!\times\frac{16!}{9!7!}\times 25!=\frac{16!25!}{9!} 種方法。

所以，所求有序數組 \left(a,b,c\right)=\left(16, 25, 9\right)。