第一題
13579 五個數字，s1=五個數字之和，s2=任兩數乘積之和，s3=任三數乘積之和，s4=任四數乘積之和，s5=五數之乘積。求 s1＋s2＋s3＋s4＋s5 之值。

解答：

s1＋s2＋s3＋s4＋s5=1+11+31+51+71+9−1=3839 





第二題
平行四邊形ABCD，E在AB上，AE：EB＝3：2；F在BC上，BF：FC＝1：2。EC與DF交點為P， AP＝a×AB＋b×AD，求a、b？

解答：

把題目坐標化，設 A(00)B(10)D(01)，則 C(11)

EC:5x−2y=3 且 DF:2x+3y=3

解得交點 P1915919 

故，題目所求之 a=1915b=919






第三題
已知 AB 兩點（題目有給點座標但是我忘記了），求過這兩點且與圓 x−12+y−12+z−12=1 相切之平面的方程式。

解答：

寫出 AB 的對稱比例式→變成兩面式→設平面族

利用“球心到直線的距離＝球半徑”，求出此平面的方程式。






第五題
為實數， 為x−1x2+x+1=0  之虛根，已知 33−=+，求 。

解答：

33−=+
3=3−+ 
=3−+3−2
=3−+3−−−1 
\displaystyle\qquad =\left(3\alpha+\beta\right)+\left( -\alpha+4\beta\right)\omega

所以，\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 = 3\alpha  + \beta }\\{0 =  - \alpha+4\beta }\\ \end{array}} \right. \displaystyle \Rightarrow \alpha=\frac{12}{13}, \beta=\frac{3}{13}.



第六題
試證
(1)sinA+sinB+sinC<(3根號3)/2
(2)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2<9/4

題目是否應該加上 A,B,C 是三角形的三內角？

否則顯然當 \displaystyle A=B=C=\frac{\pi}{2} 時，顯然題目有矛盾。

解答：

(1) 利用 https://math.pro/db/thread-229-1-1.html

可得，
\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\leq 3\sin\left(\frac{A+B+C}{3}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2}.

第四題，

假設題目的 f(x),\; g(x) 如下方 bugmens 所述，則

題目給的四次式 g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 被三次式 f(x)=x^3+2x^2-3x-1 除，所得之商式為 Q(x)，餘式為 -x+3，

則 g(x)=f(x)Q(x)+(-x+3) 且

\displaystyle g(\alpha)=f(\alpha)Q(\alpha)+(-\alpha+3)=3-\alpha,\;g(\beta)=f(\beta)Q(\beta)+(-\beta+3)=3-\beta,\;g(\gamma)=f(\gamma)Q(\gamma)+(-\gamma+3)=3-\gamma.

因此，

\displaystyle g(\alpha)\,g(\beta)\,g(\gamma)=(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma)=f(3)=35,

且

\displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}=\frac{1}{3-\alpha}+\frac{1}{3-\beta}+\frac{1}{3-\gamma}

\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{(3-\alpha)(3-\beta)+(3-\beta)(3-\gamma)+(3-\gamma)(3-\alpha)}{(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma)}

\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{27-6(\alpha+\beta+\gamma)+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)}{(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma)}

\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{27-6(-2)+(-3)}{35}

\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{36}{35}.