試題及答案，於附件。





以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 57分

68分 1人，63分 1人，61分 1人，57分 4人

其他，

50~56分 12人
40~49分 29人
30~39分 41人
20~29分 45人
10~19分 33人
0~ 9分 13人
缺考　　2人

共計 182 人

1. x2009 除以 (x−1)2(x2+1) 所得餘式為何？

解：

x2009=  x−1+12009  用二項式定理展開，
得 x2009 除以 x−12  之餘式為 2009x−2008，

設 x2009=x−12(x2+1)Q(x)+x−12(ax+b)+2009x−2008 
x=i 帶入上式，找出 ab，即可得所求.




2. 以 O 為圓心的圓上有 n 個相異點，依序為 A1、A2、A3、、An，此 n 個點將圓分割為 A1OA2、A2OA3、A3OA4、、AnOA1 等 n 個扇形區域。在 m 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法數有 S(n，m) ，若 S(n+2，m)=pS(n+1，m)+kS(n，m)，求 p−k 之值.

解：

為方便說明，令題目所述的 n 個區域為 a1a2an，

i. 若 a1 與 an−1 同色，則

　a1 到 an−1 有 S(n−2m) 種塗法，

　且 an 有 m−1 種上色法，

　所以此 n 個區域共有 (m−1)S(n−2m) 種塗法.

ii. 若 a1 與 an−1 異色，則

　a1 到 an−1 有 S(n−1m) 種塗法，

　且 an 有 m−2 種上色法，

　所以此 n 個區域共有 (m−2)S(n−1m) 種塗法.

由 i & ii，可得  S(nm)=(m−2)S(n−1，m)+(m−1)S(n−2m)

故，p=m−2k=m−1p−k=−1


註：其它相關資料 https://math.pro/db/thread-499-1-4.html







8. 擲一公正骰子，直到 6 點出現第 3 次才停止，設 X 表至停止時所投擲的次數，求 (1) P(X=5)=? ，(2) E(X)=?

解：

(1) P(X=5)=C24652612=251296 

(2) 出現 6 的點機率為 \displaystyle \frac{1}{6}\;\Rightarrow\; E(\mbox{第一次出現6點的投擲次數}) = \frac{1}{\frac{1}{6}}=6.

　　\Rightarrow\; E(\mbox{第 3 次出現 6 點的投擲次數}) = 3\times 6 = 18.






10. (2) I+A+A^2+A^3+\cdots+A^n+\cdots=?

解：

令 S=I+A+A^2+A^3+\cdots，則 AS=A+A^2+A^3+A^4+\cdots，

兩式相減，可得 \left(I-A\right)S = I，

則可得 \displaystyle S=\left(I-A\right)^{-1}I=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {\frac{16}{{15}}} & {\frac{2}{{15}}}  \\    {\frac{8}{{15}}} & {\frac{16}{{15}}}  \\ \end{array}} \right).




18. 求滿足 (x-2\cos\theta)^2+(y-2\sin\theta)^2=9 之所有點 P(x,y) 所表區域面積.

解：

P(x,y) 到 Q(2\cos\theta, 2\sin\theta) 的距離為 3.

\Rightarrow P 到圓 x^2+y^2=2^2 的距離為 3.

畫圖，可得 P 在圓 x^2+y^2=5^2 的邊界或內部區域，

並且位在圓 x^2+y^2=1^2 的邊界或外部區域，

可得面積為 \left(5^2-1^2\right)\pi=24\pi.

（感謝 p75545 老師提醒！）

感謝呀。 ^__^

眼花將兩式相減的結果由 I 看成 A.

上篇回文已改正，感恩、感恩。 ^__^

引用:

原帖由 arend 於 2009-5-22 11:30 PM 發表
瑋岳老師
請問在第2題裡
在 m 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法S(m n)
這裡S(m n)是表重複組合?

還是其他表示? 可否告知
謝謝

在 m 種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法數有 S(n，m).

小弟上面的解法，是當作顏色可以重複使用。

^_^

第 5 題
P 為橢圓 \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 上一點(不為端點)，一魔力光點自 P 向橢圓一焦點 F 射出，在到達 \overline{PF} 中點 M 時，

會朝橢圓中心 O 折射而去，求此魔力光點自 P 經 M 到達 O 之最短路徑長________。

解答：設另一焦點為 E，連接 \overline{PE}，如下圖：

　　　在 \triangle PEF 中，因為 M,O 分別為 \overline{PF}、\overline{FE} 之中點，

　　　因此 \displaystyle\overline{MO}=\frac{1}{2}\overline{PE} 且 \displaystyle\overline{PM}=\frac{1}{2}\overline{PF}。

　　　故，\displaystyle \overline{PM}+\overline{MO}=\frac{1}{2}\left(\overline{PF}+\overline{PE}\right)=\frac{1}{2}\times{\mbox{長軸長}}=\frac{1}{2}\cdot10=5.

第 18 題的應該是 24\pi.

第 15 題在 bugmens 的回覆之中，有寫做法＆解答。

填充第9題 → USA → AMC12 → 1985

計算第2題 → 大概那個站的討論區網址換了吧？可能要問那個站才知道換到哪裡去了！

相同題目，合併主題完畢。

令曲線參數式 x= 5 \cos t, y = 4 \sin t，其中 0\leq t\leq\pi，再利用旋轉體求表面積的積分得到的結果是.....

a1.jpg (103.31 KB)

2019-1-21 14:33

剛剛查了一下維基百科"橢球"，有個近似公式....

wiki.jpg (207.94 KB)

2019-1-21 14:31

套入近似公式看看，取 p=1.6075)，數值結果跟上面的答案很接近。

a2.jpg (125 KB)

2019-1-21 14:31

再套入近似公式看看 ，取 p=1，數值結果跟上面的答案誤差又多了一點點點，不過跟官方給的答案一樣了。

a3.jpg (132.66 KB)

2019-1-21 14:31

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