拋物線 y=x2 外一點 P 作兩條拋物線的切線，令兩切線銳夾角為 ，且 tan=4，求 P 點的軌跡方程式.

解答：

設 P(x0y0) 且令過 P 且與拋物線相切的兩條切線斜率分別為 m1m2.



對於拋物線 y=x2 ，其斜率為 m 的切線方程式為 y=mx−41m2.



所以，通過 P 的切線方程式為  y0=mx0−41m2，其中 m 的兩根為 m1 與 m2.

化簡得 m2−4mx0+4y0=0



由根與係數關係式，可以得到

m1+m2=4x0   且    m1m2=4y0

利用 m1−m22=m1+m22−4m1m2 ，可得 m1−m2=4x20−y0 .

且由

tan=m1−m21+m1m2

4=1+4y04x20−y0 

化簡，可得 x20−16y02−9y0−1=0

因此，可得 P(xy) 的軌跡方程式為 x2−16y2−9y−1=0





註：相同的方法可以用來證明

　　1. 設橢圓方程式為 x2a2+b2y2=1，則

　　　此橢圓任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡方程式為 x2+y2=a2+b2.

　　　可以參考楊澤璿老師【閱讀橢圓】網站上的動態展示：

　　　連結已失效h ttp://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/tjy/edu-ellipse/square%28out-ellipse%29-ex.htm


　　2. 設雙曲線方程式為 x2a2−b2y2=1，則

　　　此雙曲線任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡方程式為 x2+y2=a2−b2.


　　3. 設拋物線方程式為 x2=4cy，則

　　　此拋物線任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡為準線，即軌跡方程式為 y=−c.

　　　可以參考王清德先生所做的動態展示：

　　　連結已失效h ttp://poncelet.math.nthu.edu.tw/disk3/summer01/work/129/new_page_32.htm

剛剛網路搜尋了一下，似乎 director circle, Fermat–Apollonius circle, orthoptic circle, or Monge circle 似乎都有人稱之[1,2]。

相關參考資料：

　1. Director circle: http://en.wikipedia.org/wiki/Director_circle

　2. Monge Circle: 連結已失效h ttp://www.math.umt.edu/tmme/vol2no2/TMMEv2n2a1.pdf






另外，如果有支援 Java 程式的話，

中二中的楊澤璿老師的網站【閱讀橢圓】→【變化試題】上的第三個問題（如下連結），

連結已失效h ttp://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/tjy/edu-ellipse/square(out-ellipse)-ex.htm

有動態的展示。


其他相關資料（拋物線的兩互相垂直切線的交點軌跡、雙曲線的兩互相垂直切線的交點軌跡）：https://math.pro/db/thread-723-1-1.html

解一：利用拋物線兩互相垂直的切線交點會在準線上。

　　　請參考 https://web.math.sinica.edu.tw/media/pdf/d301/30105.pdf 此文中的性質一。

　　　把題目給的拋物線配成標準式，找出準線方程式，因準線會通過題述之定點，可得題目所求 k 值。

解二：利用根與係數關係式（亦可用來證明上面解一的性質一）。

　　　請參考 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=723

　　　假設切線斜率為 m，列出切線方程式，再帶入題述拋物線，

　　　因相切判別式為零，可得切線斜率 m 需滿足的一元二次方程式，

　　　因兩切線互相垂直，可以此一元二次方程式的兩根之積為 −1，進而得題目所求 k 值。