設 f(x) 為領導系數為 1 的四次多項式，已知 f(1)=5f(2)=9f(3)=13，求 f(7)+f(−3) 之值。

解：

令

f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−a)+4x+1

則

f(7)+f(−3)=654(7−a)+29+(−4)(−5)(−6)(−3−a)+−11 

=654(7−a)−(−3−a)+18=1218 

Ｑ：如何確定您找的特例可以確保答案正確？

觀察易知 g(x)=4x+1 亦滿足 g(1)=5g(2)=9g(3)=13

則 f(1)−g(1)=0f(2)−g(2)=0f(3)−g(3)=0

由因式定理，可知 f(x)−g(x) 有 x−1x−2x−3 的因式，

且因為四次多項式 f(x) 的首項係數為 1，g(x) 為三次式，

所以可以令 f(x)−g(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−a)f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−a)+g(x)



註：

如果觀察不到，改利用 Lagrange 插值找出來滿足 f(1)=5f(2)=9f(3)=13 的多項式 (1−2)(1−3)5(x−2)(x−3)+(2−1)(2−3)9(x−1)(x−3)+(3−1)(3−2)13(x−1)(x−2)

展開後亦會是 4x+1，也就是滿足 f(1)=5f(2)=9f(3)=13 的最低次數的多項式，

不信的話～你也可以把你用牛頓插值法找出來的多項式減去 (−56) 倍的 (x−1)(x−2)(x−3) ，以消去三次項係數，

亦會得 4x+1

不知您有沒有發現，您找到的都是

其實通式為 4x+1+(x−1)(x−2)(x−3)Q(x) 的多項式呢～：）

而 4x+1 本來就可以隨便換成其他的～像是換成 4x+1+10000000(x−1)(x−2)(x−3)

然後把通式改寫成 4x+1+10000000(x−1)(x−2)(x−3)+(x−1)(x−2)(x−3)Q(x) 亦可呀～

並沒有唯一性呀～除非您有要求那個特解具有更多的性質～像是～次方數要最小～

不然其實並沒有唯一性～也可以用觀察而得特解～都可以呀～



另外～而 Lagrange 本來就可以拿來找高次多項式呀～

不太瞭解您的問題點？：）

沒錯～　f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−a)+4x+1

即是在滿足 f(1)=5f(2)=9f(3)=13 的多項式以外～

額外要求的＂首項係數為 1 且為四次多項式＂之下的通解。

如果題目只有寫 f(x) 為滿足 f(1)=5f(2)=9f(3)=13 的多項式，

那我就會寫成 f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)Q(x)+4x+1 了～（其中 Q(x) 是 x 的多項式）


另外，

關於分數的顯示～

可以參考這篇 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=705&page=1#pid1201 最下方的回覆～

在 LaTeX 裡面～分數的語法式 \frac{分子}{分母}

：）

以此題為例，

關於這個題目設計的關鍵點～

或許就是在  (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) 這一塊～

當中 x-a 前面的係數 (x-1)(x-2)(x-3)

1. 當 x 以 2\pm h 帶入(x-1)(x-2)(x-3)，可以得到異號的兩相反數，

2. 當 x 以 2\pm h 帶入x-a，可以得到 a 前面的係數相同～

因此，題目才會設計成要問 f(2+h)+f(2-h) ，其中 h 為某已知數字。



小弟心底偷偷思尋～那可否修改題目～將 f(x) 改為五次呢？

那要怎樣設計題目怎樣的兩數，才能讓 f(\mbox{第一數})\pm f(\mbox{第二數}) 求出定值呢？

似乎做得出來～：Ｐ

然後～還是設計成三數呢？

首相係數不為 1 ～改為其他數呢？

可以設計得出來～但如果數字要好看～就要花點心思了！：Ｐ