第 8 題：
假設這 \(8\) 位學生繞一圈的座號依序為 \(1, 2, 3, \cdots, 8\) ，
先研究一下這 \(8\) 位同學共擲出 \(k\) 個反面且 \(8-k\) 個正面且任兩反面都不相鄰的方法數（其中 \(1\leq k\leq 4\)），
情況ㄅ：若座號 \(1\) 號的同學擲出反面，則
他左右兩側的第 \(2\) 號與第 \(8\) 號同學必然沒有擲出反面，
剩下第 \(3\) 號至第 \(7\) 號同學要分配 \(k-1\) 個反面與 \(6-k\) 個正面，
利用插空隙法，可得反面的排列方法數為 \(C(7-k, k-1)\) 種。
情況ㄆ：若座號 \(1\) 號的同學擲出正面，則
剩下第 \(2\) 號至第 \(8\) 號同學要分配 \(k\) 個反面與 \(7-k\) 個正面，
利用插空隙法，可得反面的排列方法數為 \(C(8-k, k)\) 種。
由情況ㄅ與ㄆ，得正反面的排列方法數為 \(C(7-k,k-1) + C(8-k,k)\) 。
因為八位學生同時丟擲硬幣，「沒有任相鄰二人皆擲出反面」時，
反面數只有可能為 \(0, 1, 2, 3,\) 或 \(4\)，
得沒有任兩人擲出反面的方法數為 \(\displaystyle 1+\left(C(6,0)+C(7,1)\right)+\left(C(5,1)+C(6,2)\right)+\left(C(4,2)+C(5,3)\right)+\left(C(3,3)+C(4,4)\right)=47\)。
故，所求機率 \(\displaystyle =\frac{47}{2^8}=\frac{47}{256}\)
［另解］
設 \(n\) 位學生繞一圈的座號依序為 \(1, 2, 3, \cdots, n\) 且此 \(n\) 位同學丟擲出沒有任何兩相鄰反面的方法數為 \(L_n\)，
則 \(a_1 = 1, a_2 = 3\)，
當 \(n>2\) 時，
情況ㄅ：若座號 \(1\) 號的同學擲出正面，則他的左右可能是（正, 正）、（正, 反）、（正, 反）、（反, 反）
情況ㄆ：若座號 \(1\) 號的同學擲出反面，則他的左右只能是（正, 正）
若扣除掉座號 \(1\) 號的同學後，得情況ㄅ的前三種（正, 正）、（正, 反）、（正, 反）對應的排列方法數和為 \(L_{n-1}\)。
若扣除掉座號 \(1\) 號的同學後，且「把情況ㄅ的最後一種情況（反, 反）視為只有一個反面，把情況ㄆ的（正, 正） 也視為只有一個正面」，
得此兩種對應的排列方法數和為 \(L_{n-2}\)。
因此 \(L_n = L_{n-1}+L_{n-2}\)，
得 \(L_3 = 3+1=4, L_4 = 4+3=7, L_5=7+4=11, L_6=11+7=18, L_7=18+11=29, L_8=29+18=47\) 。
故，所求機率 \(\displaystyle =\frac{47}{2^8}=\frac{47}{256}\)
註：此數列為盧卡斯數列
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/% ... 1%E6%96%AF%E6%95%B8
