115中大壢中

第 12 題：

先求得 \(\overline{AB}\) 的垂直平分面為 \(x+z=5\)，

球心 \(O\) 位在 \(x+z=5\) 與 \(5x-2y+5z=3\) 的交線上，

令球心 \(O(t,11,5-t)\)，則

\(\displaystyle d(O,E) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\) 且

\(\displaystyle \overline{AO}^2 = \left(t-1\right)^2 + 7^2 + \left(t-3\right)^2 = 2t^2 - 8t + 59 = 2\left(t-2\right)^2 + 51 \geq 51\)

\(\Rightarrow\) 球半徑 \(\displaystyle \overline{AO} \geq \sqrt{51}\)

得截圓面積為 \(\displaystyle \pi\times\left(\overline{AO}^2 – d(O,E)^2\right) \geq 48 \pi\)。

當 \(t=2\) 時， 截圓面積有最小值為 \(48 \pi\)。