填充第 9 題：
12C18511547+22C28512546+32C38513545++82C88518= 　　　？
[解答]
想成丟擲一枚不均勻的硬幣，正面出現機率 51，反面出現機率 54

隨機變數 X 表示連續丟擲八次所得的正面次數，題目即是要求 EX2 

E(X)=np=851

Var(X)=np1−p=85154 

因為 VarX=EX2−EX2 

所以 EX2=VarX+EX2=2596 

填充第 6 題：
AD為半圓的直徑，且AB=2、BC=7、CD=11，則AD=　　　？
[解答]

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2013-7-8 09:03

ps. 寫到最後也是 x3−174x+308=0 ...... 囧rz

填充第 5 題：
有甲、乙、丙三支大瓶子，開始時均裝有1公升的水，每一輪操作都是先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶，再將乙瓶的水倒出一半到丙瓶，然後再將丙瓶的水倒出一半回甲瓶，若一直操作下去當穩定狀態時，甲瓶的水量為　　　公升？
[解答]
若甲乙丙三瓶中分別有 abc 公升的水，經一輪（甲→乙→丙→甲）操作後，

可知甲乙丙三瓶分別還有 85a+4b+c24a+2b8a+4b+c2 公升的水，

得轉移矩陣為 85418141214121021

達穩定狀態時，設甲乙丙三瓶的水量分別為 xyz，

解方程式 85x+4y+z2=x4x+2y=yx+y+z=3

可得 x=23y=z=43

因此，達穩定狀態時，甲瓶的水量為 23 公升。

填充第 10 題：
滿足x+y+x+y−1=1的所有點(xy)在坐標平面上所形成的區域面積為　　　？
[解答]
將平面分成七個區域，去絕對值，

討論各區域所需滿足的圖形（方程式）為何。

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2013-7-8 09:34

填充第 2 題：
設四次多項式f(x)=−x4+3x3−3x2+3x−2，選取積分區間axb，使得定積分abf(x)dx 達到最大值，請求出此最大值　　　？
[解答]
先看 y=−x4+3x3−3x2+3x−2 與 x 軸的交點在哪裡，圖形長怎樣。

因式分解 −x4+3x3−3x2+3x−2 得 −(x−2)(x−1)(x2+1)

可知 y=−x4+3x3−3x2+3x−2 的圖形

1. 當 x 在 1 到 2 之間時，圖形在 x 軸上方，

2. 當 x<1 或 x>2 時，圖形在 x 軸下方。

因此，取積分區間 [1,2]

可得定積分之最大值為 \displaystyle\int_1^2\left(-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\right)dx=\frac{11}{20}

填充第 3 題：
無窮級數\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+3+3^2+\ldots+3^n}{5^n}=　　　？
[解答]
\displaystyle \frac{1+3+3^2+\cdots+3^n}{5^n}=\frac{\frac{1\cdot\left(3^{n+1}-1\right)}{3-1}}{5^n}=\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n

因為各別極限（如下）都存在

　　 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n=\frac{\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{5}}{1-\frac{3}{5}}=\frac{9}{4}

　且 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}=\frac{1}{8}

所以，

\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n\right)= \sum_{n=1}^\infty\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n=\frac{9}{4}-\frac{1}{8}=\frac{17}{8}

亦即，所求 \displaystyle =\frac{17}{8}

第二部分問答題第 4 題：
過點(-2,2)且和橢圓方程式x^2+xy+y^2=1相切的直線方程式為？
丁同學的算式為：
過(x_0,y_0)的二次曲線ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0切線方程式為
\displaystyle ax_0x+b\left(\frac{y_0x+x_0y}{2}\right)+cy_0y+d\left(\frac{x+x_0}{2}\right)+e\left(\frac{y+y_0}{2}\right)+f=0
(-2,2)代入公式得到\displaystyle -2x+\frac{2x-2y}{2}+2y=1，切線方程式為-x+y=1
[解答]
因為點 (-2,2) 並不在橢圓 x^2+xy+y^2=1 的圖形上，

所以丁同學所求出的方程式並不是切線的方程式，

而是兩切點所連接的直線方程式（切點弦方程式，極線）。



丁同學可改用如下方式求切線：

假設過點 (-2,2) 與橢圓 x^2+xy+y^2=1 相切的切線斜率為 m，

則切線方程式為 y-2=m\left(x+2\right)\Rightarrow y=mx+2\left(m+1\right)

將切線方程式帶入橢圓方程式，整理可得

\left(m^2+m+1\right)x^2+2\left(2m^2+3m+1\right)x+\left(4m^2+8m+3\right)=0

因為相切，所以 x 有重根，

可得 \left(2\left(2m^2+3m+1\right)\right)^2-4\left(m^2+m+1\right)\left(4m^2+8m+3\right)=0

\Rightarrow 2m^2+5m+2=0

\displaystyle \Rightarrow m=-2 或 \displaystyle m=-\frac{1}{2}

亦即，切線方程式為 \displaystyle y-2=-2\left(x+2\right) 或 \displaystyle y-2=-\frac{1}{2}\left(x+2\right)

因為點 (-2,2) 並不在橢圓 x^2+xy+y^2=1 的圖形上，

所以丁同學所求出的方程式並不是切線的方程式，

而是兩切點所連接的直線方程式（切點弦方程式，極線）。


所以也可以把丁同學所算出來的這一條"極線"與圓方程式解聯立，

這樣解出來的點坐標（答案會有兩組）就會是切點的位置，

再求過切點與 (-2,2) 兩點的直線方程式，就會是切線方程式。


ps. 學弟感謝啦～：Ｄ