填充第 8 題：
有一個數列，a1=1且a9+a10=646。此數列的第一、第二、第三項成等比數列，第二、第三、第四項成等差數列；且一般而言，對所有的n1，a2n−1a2n及a2n+1成等比數列，a2na2n+1及a2n+2成等差數列。設ak為此數列中小於1000的最大項，試求k=？
[解答]
拋磚引玉一下，小弟的作法有點繁瑣～而且答案有兩個～＝＝？　

有勞大家幫忙 debug 了！：Ｐ

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令 a2=r，則

觀察一下數列：

a1=1

a2=r

a3=a1a22=r2 

a4=2a3−a2=r2r−1 

a5=a3a42=2r−12 

a6=2a5−a4=2r−13r−2 

a7=a5a62=3r−22 

a8=2a7−a6=3r−24r−3 

a9=a7a82=4r−32 

a10=2a9−a8=4r−35r−4 

可以找到規律是 a2n+1=nr−n−12a2n=n−1r−n−2nr−n−1n2 

（應該可以用數學歸納法證明這件事～：Ｐ）

由 a9+a10=646，可得 r=36−125 或 r=5

若 r=5，則 a2n+1=nr−n−121000n7 

　　　　　　　 a2n=n−1r−n−2nr−n−11000n8 

　　　　　　　　k=28=16

若 r=36−125，則 a2n+1=nr−n−121000  n7 

　　　　　　　 a2n=n−1r−n−2nr−n−11000n7 

　　　　　　　　k=27+1=15

第 9 題：
若a0b0，則a+b+4a+1+b+3的最大值為　　　。
[解答]
已知 a0b0

由柯西不等式，可得

a+12+b+3212+121a+1+1b+32 

　　a+b+4a+1+b+322 

　　a+b+4a+1+b+32

且當等號成立時，1a+1=1b+3a=b+2 

第 1 題：
設n為大於1的正整數，若n2+3n+11為兩相鄰正奇數的乘積，則n=　　　。
[解答]
依題意可令 n2+3n+11=(2k−1)(2k+1)，其中 k 正整數，

n+232+439=4k2 

4k2−2n+32=39 

可得 4k−2n−34k+2n+3=39 

且因為 nk 皆為正整數，所以 4k+2n+34k−2n−3 且兩者皆為正整數，

所以

case 1: 4k−2n−3=14k+2n+3=39k=5n=8

case 2: 4k−2n−3=34k+2n+3=13k=1n=1 （不合）