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102大直高中

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計算題為教學現場如何引導學生做題及觀念陳述。

[ 本帖最後由 tacokao 於 2013-4-17 04:49 PM 編輯 ]

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102大直高中.pdf (88.6 KB)

2013-4-17 13:24, 下載次數: 2719

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想請教填充第8題 謝謝

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回復 2# 阿光 的帖子

填充第 8 題:

拋磚引玉一下,小弟的作法有點繁瑣~而且答案有兩個~==? 

有勞大家幫忙 debug 了!:P

-----------------------------------------------------------------------------------

令 \(a_2 = r\),則

觀察一下數列:

\(a_1 = 1\)

\(a_2 = r\)

\(\displaystyle a_3 = \frac{\left(a_2\right)^2}{a_1}=r^2\)

\(a_4=2a_3-a_2 = r\left(2r-1\right)\)

\(\displaystyle a_5=\frac{\left(a_4\right)^2}{a_3}=\left(2r-1\right)^2\)

\(a_6=2a_5-a_4 = \left(2r-1\right)\left(3r-2\right)\)

\(\displaystyle a_7=\frac{\left(a_6\right)^2}{a_5}=\left(3r-2\right)^2\)

\(a_8=2a_7-a_6 = \left(3r-2\right)\left(4r-3\right)\)

\(\displaystyle a_9=\frac{\left(a_8\right)^2}{a_7}=\left(4r-3\right)^2\)

\(a_{10}=2a_9-a_8 = \left(4r-3\right)\left(5r-4\right)\)

可以找到規律是 \(a_{2n+1}=\left(nr-\left(n-1\right)\right)^2, a_{2n}=\left(\left(n-1\right)r-\left(n-2\right)\cdot\left(nr-\left(n-1\right)\right)\right),\forall n\geq 2\)

(應該可以用數學歸納法證明這件事~:P)

由 \(a_9+a_{10}=646\),可得 \(\displaystyle r=\frac{-125}{36}\) 或 \(r=5\)

若 \(r=5\),則 \(a_{2n+1}=\left(nr-\left(n-1\right)\right)^2<1000 \Rightarrow n\leq 7\)

        \(a_{2n}=\left(\left(n-1\right)r-\left(n-2\right)\cdot\left(nr-\left(n-1\right)\right)\right)<1000\Rightarrow n\leq8\)

        \(\Rightarrow k=2\times8=16\)

若 \(\displaystyle r=\frac{-125}{36}\),則 \(a_{2n+1}=\left(nr-\left(n-1\right)\right)^2<1000  \Rightarrow n\leq 7\)

        \(a_{2n}=\left(\left(n-1\right)r-\left(n-2\right)\cdot\left(nr-\left(n-1\right)\right)\right)<1000\Rightarrow n\leq7\)

        \(\Rightarrow k=2\times7+1=15\)

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引用:
原帖由 weiye 於 2013-4-17 11:53 PM 發表
觀察一下數列:
...
第八題我的算法也是這樣耶~
算出來的r 值也一樣
4分而已....好少....

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引用:
原帖由 tacokao 於 2013-4-17 01:24 PM 發表
計算題為教學現場如何引導學生做題及觀念陳述。
有去考試的老師們能提供一下計算題是哪些題目嗎?

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8.有一個數列,\( a_1=1 \)且\( a_9+a_{10}=646 \)。此數列的第一、第二、第三項成等比數列,第二、第三、第四項成等差數列;且一般而言,對所有的\( n \ge 1 \),\( a_{2n-1},a_{2n} \)及\( a_{2n+1} \)成等比數列,\( a_{2n},a_{2n+1} \)及\( a_{2n+2} \)成等差數列。設\( a_k \)為此數列中小於1000的最大項,試求\( k= \)?

A sequence of positive integers with \( a_1=1 \) and \( a_9+a_{10}=646 \) is formed so that the first three terms are in geometric progression, the second, third, and fourth terms are in arithmetic progression, and, in general, for all \( n \ge 1 \), the terms \( a_{2n-1} \), \( a_{2n} \), \( a_{2n+1} \) are in geometric progression, and the terms \( a_{2n} \), \( a_{2n+1} \), and \( a_{2n+2} \) are in arithmetic progression. Let \( a_{n} \) be the greatest term in this sequence that is less than 1000. Find \( n+a_{n} \).
(2004AIME第九題,http://www.artofproblemsolving.c ... id=45&year=2004)
點題號會跳到討論文章

中文題目應該是從這裡抄出來的,檔案就少了正整數這個條件
http://e-tpd.kssh.khc.edu.tw/sys/read_attach.php?id=866

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回復 5# casanova 的帖子

計算題總共八題,細節有點記不太住了,真是抱歉,不過最後一題為101全國聯招,計算第2題,(https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1385&highlight=101) 。重點應該是如何引導學生,而非解題。

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另外還記得一題,圓內接四邊形ABCD,四邊長依順時針方向為1、4、8、7,求圓的半徑。

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回復 1# tacokao 的帖子

填充第4 (向量那題) 答案應該給錯了...

舉個特別的例子:
A(0,0), B(0,5), C(5,0)
則依題意 P(4,6)
a(ABC)=25/2
a(ABP)=24/2
得到 a(ABP):a(ABC)=24:25   (答案給4:5)

另外一提,最近在登錄 mathpro 時,一直遇到驗證碼錯誤而無法登入的問題,
不知大家是否也有相同的困擾??

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回復 9# Joy091 的帖子

我依你的數據算了
a(ABP)是5*4/2=20/2
比完之後確實是4:5
答案應該沒錯~

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