第 1 題：n! 展開後末尾有 1981 個 0，則 n 的最大值為？

解答：

因為 1 至 n 當中顯然偶數個數會比五的倍數多很多，所以只需考慮 n! 化為標準分解式之後會有多少個五，

則 n! 尾端就會有多少個零。

5! 尾端有 1 個零，

(52)! 尾端有 1+5=6 個零

(53)! 尾端有 1+5+52=31 個零

(54)! 尾端有 1+5+52+53=156 個零

(5^5)! 尾端有 1+5+5^2+5^3+5^4=781 個零

(5^6)! 尾端有 1+5+5^2+5^3+5^4+5^5=3906 個零～哇～

哇勒～爆掉了～得縮小一點才行～

因為 1981=2\cdot781+2\cdot156+3\cdot31+2\cdot6+2\cdot1

所以來研究一下 (2\cdot5^5+2\cdot5^4+3\cdot5^3+2\cdot5^2+2\cdot5)! 好了～

它的尾端有 2\cdot781+2\cdot156+3\cdot31+2\cdot6+2\cdot1=1981 個零

而 (2\cdot5^5+2\cdot5^4+3\cdot5^3+2\cdot5^2+3\cdot5)! 就會是尾端有 1982 個零的數了。

故， n 可以是  (2\cdot5^5+2\cdot5^4+3\cdot5^3+2\cdot5^2+2\cdot5)

　　　　　　至 (2\cdot5^5+2\cdot5^4+3\cdot5^3+2\cdot5^2+3\cdot5-1) 間的任何一個數都可以，

可得 n 的最大值為 2\cdot5^5+2\cdot5^4+3\cdot5^3+2\cdot5^2+3\cdot5-1=3989

第 2 題的題目似乎有誤？應該是要求 B 的各位數字和？（1975年ＩＭＯ考題）



第 2 題：4444^{4444} 展開後各位數字和Ａ，Ａ之各位數字和為Ｂ，則Ｂ之各位數字和＝？

答案：

因為 4444^{4444}<10000^{4444}=10^{22220} ，

所以 4444^{4444} 乘開後頂多是 22221 位數字，所以 A 必不超過 9\cdot22221=199989<199999

因此，B 必不超過 1+9+9+9+9+9=46，可知 B 的各位數字和必不超過 3+9=12

再來考慮 4444^{4444} 除以 9 的餘數，

4444\equiv7\pmod9\Rightarrow 4444^{4444}\equiv 7^{4444}\pmod9

因為 gcd(7,9)=1，所以 7^6\equiv1\pmod{9}

　（這裡偷偷用了尤拉推廣費馬小定理的版本　http://zh.wikipedia.org/zh-tw/歐拉定理_(數論)）

且由於 4444\equiv4\pmod6，所以 7^{4444}\equiv 7^4\equiv 7\pmod9

因此 B 的各位數字和除以 9 的餘數為 7，且因為 B 的各位數字和必不超過 12

故，B 的各位數字和為 7。

111.4.24補充
桃園高中80周年慶，師生想利用8個8組成一個校運昌隆數作為紀念，經過討論後決定以8888^{8888}作為此校運昌隆數。將此校運昌隆數展開後的各位數字和令為A，再將A的各位數字和令為B，求B的各位數字和為　　　。
(111桃園高中，https://math.pro/db/thread-3632-1-1.html)

第 3 題：x,y 為自然數，x/y 為最簡真分數，x+y=3980 之（x,y）有幾組？

3980=2^2\cdot5\cdot199

\Rightarrow 在 1 到 3980 之間且與 3980 互質的數有 \displaystyle 3980\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{199}\right)=1584 個。

故，所求有 \displaystyle \frac{1584}{2}=792 組。




ps. 夜深了，頭昏昏想睡覺，如果有錯誤記得提醒小弟一下，感謝！：Ｄ

1981 除以 781 → 商 2 ，餘 419
（也就是 1981 最多可以抽出兩個 781，剩下的 419 只能由更小的數字來拼湊了！）

419 除以 156 → 商 2 ，餘 107
（也就是 419 最多可以抽出兩個 156，剩下的 107 只能由更小的數字來拼湊了！）

107 除以 31 → 商 3 ，餘 14
（也就是 107 最多可以抽出三個 31，剩下的 14 只能由更小的數字來拼湊了！）

14 除以 6 → 商 2 ，餘 2
（也就是 16 最多可以抽出兩個 6，剩下的 2 只能由更小的數字來拼湊了！）

2 除以 1 → 商 2，整除
（2就是兩個1了！）