pdf & doc 版題目卷

第 11 題：設 abc−2 且 3a+2b−c=4，則 a+2b+c 之最大值＝？

解答：

令 x=a−by=b−cz=c+2

3a+2b−c=4

3(a−b)+5(b−c)+4(c+2)=12

3x+5y+4z=12

則要滿足的限制條件為 3x+5y+4z=12x0y0 且 z0

滿足條件的區域為一個三角形，

且此三角形的各頂點為 (400)(05120)(003)


再來研究目標函數～

a+2b+c=(a−b)+3(b−c)+4(c+2)−8

　　　　=x+3y+4z−8

目標函數為 x+3y+4z−8

將各頂點帶入，可知當 (xyz)=(003) 時，

　　　　　　　x+3y+4z−8=4 為最大值，

　　　　　　　亦即，當 (abc)=(111) 時，

　　　　　　　a+2b+c=4 為最大值。

填充第 9 題
已知ab為實數，若ax17+bx16+1能被x2−x−1整除，則a=　　　。
[解答]
令 ax17+bx16+1=x2−x−1a15x15+a14x14++a1x+a0 

把左式用分離係數法乘開如下：

100_lssh_Q9.png (62.34 KB)

2011-6-23 09:17

註：解完才發現，thepiano 老師的解法更棒～詳見 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349

填充第 10 題：
設ab皆為正整數，且ab，若a+ba2+ab+b2=211，則序對(ab)=　　　。
[解答]
因為 a0b0 且 a+ba2+ab+b=211

所以，令 a+b=2ka2+ab+b=11k，其中 k 為正整數，

則

a2+ab+b=11k

a(a+b)+b=11k

\Rightarrow 2ak+b=11k

\Rightarrow b=k(11-2a)>0

\Rightarrow 11-2a>0

\displaystyle \Rightarrow 0<a<\frac{11}{2}

a=1,2,3,4,\mbox{ 或 }5

帶入 \displaystyle \frac{a+b}{a^2+ab+b}=\frac{2}{11}

可解得只有 (a,b)=(5,5) 會使得 a,b 皆為正整數，

但是，題目有說 a>b,

所以此題無解。

註：亦可參見 thepiano 老師更快的解法步驟：http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349 ^__^

填充第 2 題
若(x-1)(x+1)^{30}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots+a_{31}x^{31}，試求a_0+a_1+2a_2+3a_3+\ldots+31a_{31}=　　　。
[解答]
令 f(x)=(x-1)(x+1)^{30}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_{31}x^{31}

則 f'(x)=(x+1)^{30}+(x-1)\cdot30(x+1)^{29}

a_1+2a_2+3a_3+\cdots+31a_{31}=f'(1)=2^{30}

且因為 a_0=f(0)=-1

所以，a_0+a_1+2a_2+3a_3+\cdots+31a_{31}=2^{30}-1=1024\times1024\times1024-1=1073741823.

填充第 4 題
已知兩點A(x,y)，B(p,q)，且\displaystyle x=\frac{p}{p^2-q^2}，\displaystyle y=\frac{q}{p^2-q^2}，(p\ne q)，若B點在直線x-y-1=0上運動，則A點的軌跡方程式為=　　　。
[解答]
因為 B(p,q) 點位在 x-y-1=0 直線上，

所以 p-q-1=0\Rightarrow p-q=1

\displaystyle x+y=\frac{p}{p^2-q^2}+\frac{q}{p^2-q^2}=\frac{p+q}{p^2-q^2}=\frac{1}{p-q}=1

\Rightarrow x+y-1=0

故，A(x,y) 點位在 x+y-1=0 直線上。




至於能否證明 A 的軌跡就是一整條直線～～～

\displaystyle x=\frac{p}{p^2-q^2}=\frac{p}{(p-q)(p+q)}

　\displaystyle =\frac{p}{p+q}=\frac{p}{p+(p-1)}

　\displaystyle =\frac{p}{2p-1}

\displaystyle \Rightarrow p=\frac{x}{2x-1}

故，只要 x 不等於 \displaystyle \frac{1}{2}，都可以找到 \displaystyle p=\frac{x}{2x-1}。

使得 B(p,q) 對應的 A(x,y) 落在 x+y-1=0 直線上。


至於 x+y-1=0 直線上的點 \displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2})

似乎找不到對應的 B(p,q) ？

所以答案應該是～～～～ x+y-1=0 扣掉一點 \displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2}).



不知以上討論是否有疏漏的地方？^__^

不是做錯，是沒做完~~

題目要求 A 點軌跡方程式，

就是要求 x,y 要滿足的關係式，

而你列的式子最後還是有在變動的 p,q

而不是單純只有 x,y 。

不是，

p,q 是變數，

B(p,q) 是位在 x-y-1=0 直線上的動點。

如果 p,q 是常數的話，

那 \displaystyle A(x,y)=(\frac{p}{p^2-q^2},\frac{q}{p^2-q^2}) 就是定點了，

何必求軌跡方程式呢？：Ｐ

第 6 題：
如圖(二)，\triangle ABC中，\overline{AB}=10，\overline{AC}=8，\overline{BC}=6，圓O為過C且與\overline{AB}相切的最小圓，圓O交\overline{BC}於E，交\overline{AC}於F，則\overline{EF}的長為=　　　。
[解答]
因為圓 O 為過 C 且與 \overline{AB} 相切的最小圓，

所以 \overline{CD} 為直徑，

\displaystyle \overline{CD} = \frac{\overline{AC}\times \overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{24}{5}

因為 \angle FCE=90^\circ

所以 \overline{EF} 亦為圓 O 的直徑，

故， \displaystyle \overline{EF}=\overline{CD}=\frac{24}{5}.


第 18 題：
如圖(三)，一圓交一正三角形ABC於D、E、F、G、H、I六點，若\overline{CF}=1，\overline{FG}=13，\overline{AG}=2，\overline{HI}=7，則\overline{DE}=　　　。
[解答]
此正三角形邊長 =1+13+2=16

\overline{AF}\times \overline{AG} = \overline{AH}\times \overline{HI}

　　\Rightarrow 15\times2=\overline{AH}\times(\overline{AH}+7)

　　\Rightarrow \overline{AH}=3

　　\Rightarrow \overline{BI}=16-(7+3)=6

令 \overline{CE}=x, \overline{BD}=y

由 \overline{CF}\times \overline{CG}=\overline{CE}\times \overline{CD}

　　且 \overline{BI}\times \overline{BH}=\overline{BD}\times \overline{BE}

可得 x(16-y)=14 且 y(16-x)=78

兩式相減，再以帶入消去法，

可解得 x=6-\sqrt{22}, y=10-\sqrt{22}

故，\overline{DE}=16-(x+y)=2\sqrt{22}.

113.5.8補充
如右圖，圓與正三角形\Delta ABC的三邊交出6個點，如果\overline{AG}=2、\overline{GF}=13、\overline{FC}=1、\overline{HI}=7，試求\overline{DE}=　　　。
(113台北市立陽明高中，https://math.pro/db/thread-3864-1-1.html)






第 24 題
如下圖，麗山高中的L形圖騰由一些方格所構成
(1)用5種顏色來塗這些方格，規定相鄰的格子必須著不同色，顏色可重複使用，則著色方法有　　　種。
(2)若用2\times1恰兩個方格大小的長方形磁磚來鋪這個L形的圖騰，規定不能敲碎磁磚，且須剛好鋪滿整個L形的圖騰，則鋪法有　　　種。
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[解答]
第 1 小題



如圖，先塗紅色區域，再塗藍色區域，

然後每兩個為一組塗色區域，

可得所求＝(5\times 4)\times(1\times4+3\times3)^7=20\times 13^7

第 5 題：
如圖(一)，\overline{AB}與圓O相切於A，\overline{AB}=6，D為圓內一點，\overline{BD}為圓O於C，且\overline{BC}=\overline{CD}=3，\overline{OD}=2，則圓O的半徑為=　　　。
[解答]


如圖，延長題目的各線段，使之交圓於圖中 E,F,G 各點，則

\overline{AB}^2=\overline{BC}\times \overline{BE}

\Rightarrow \overline{BE}=12

\Rightarrow \overline{ED}=6

設 \overline{OF}=r

由 \overline{DF}\times \overline{DG}=\overline{DC}\times \overline{DE}

可得 (r-2)(r+2)=3\times6

　　 \Rightarrow r=\sqrt{22}